Быстрый поиск

Курсовая работа: Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Предположим, что . Пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда . Из того, что , следует, что - нильпотентная максимальная подгруппа в . Значит, - нормальная подгруппа в . Поскольку нормальна в , то - нормальная подгруппа группы . Так как , то в группе существует 2-максимальная подгруппа такая, что . Тогда - -максимальная подгруппа в , и следовательно, - -максимальная подгруппа в . Поскольку по условию перестановочна с , то

что приводит к противоречию с максимальностью подгруппы . Следовательно, .

Предположим теперь, что . Допустим, что . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы и - произвольная -максимальная подгруппа группы . Рассуждая как выше видим, что - нормальная подгруппа в группе и поэтому - подгруппа группы . Используя приведенные выше рассуждения видим, что . Полученное противоречие с максимальностью подгруппы показывает, что . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что . Так как , то - абелева и поэтому . Следовательно, . Так как , то . Из того, что

получаем, что , и поэтому - нормальная подгруппа в группе .

Предположим, что в группе существует подгруппа порядка , отличная от . Из того, что порядок следует, что - максимальная подгруппа группы . Отсюда следует, что - -максимальная подгруппа группы . Так как по условию подгруппы и перестановочны, то мы имеем

Следовательно, - подгруппа группы , и поэтому

Это противоречие показывает, что в группе существует единственная подгруппа порядка . Ввиду теоремы , группа является либо группой кватернионов порядка , либо является циклической группой порядка . В первом случае, подгруппа порядка группы содержится в центре группы , и поэтому подгруппа не является группой Шмидта, противоречие. Следовательно, мы имеем второй случай. Значит, - циклическая подгруппа порядка . Понятно, что . Если , то подгруппа нормальна в группе , и поэтому . Полученное противоречие показывает, что . Таким образом, - группа типа (6). Пусть теперь . Если порядок , то , и поэтому - группа типа (4). Предположим, что порядок . Пусть - максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Из того, что , следует, что - неединичная подгруппа. Так как подгруппа нильпотентна, то . Но как мы уже знаем, - циклическая подгруппа и поэтому . Следовательно, . Пусть - произвольная подгруппа порядка группы . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Значит, по условию подгруппы и перестановочны. Так как - абелева подгруппа, то - нормальная подгруппа в группе . Заметим, что поскольку , то

является нормальной подгруппой в и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Это означает, что - группа типа (5).

II. .

Пусть - некоторая силовская -подгруппа группы , - некоторая силовская -подгруппа группы и - некоторая силовская -подгруппа группы , где - различные простые делители порядка группы . Пусть - произвольная нормальная максимальная подгруппа группы . Так как - разрешимая группа, то индекс подгруппы в группе равен некоторому простому числу. Пусть, например, индекс равен . Ввиду следствия , - либо нильпотентная подгруппа, либо ненильпотентная группа порядка .

1. Предположим, что - нильпотентная подгруппа. Пусть - силовская -подгруппа группы , - силовская -подгруппа группы и - силовская -подгруппа группы . Тогда . Так как и , то и - нормальные подгруппы в группе . Из того, что индекс подгруппы равен , следует, что и - силовские подгруппы группы и поэтому и . Понятно, что для некоторого имеет место и поэтому, не теряя общности, мы можем полагать, что . Следовательно, . Ясно, что не является нормальной подгруппой в группе .