Быстрый поиск

Курсовая работа: Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Следовательно, подгруппы и перестановочны. Полученное противоречие с выбором группы заканчивает доказательство теоремы.

Если в группе любая ее -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы и , то - нильпотентная группа.

Классы групп типов (1) -(7), очевидно, попарно не пересекаются. Покажем, что все это классы не пусты. Но фактически мы должны установить это лишь для классов (2), (3), (5) - (7).

Хорошо известно, что в группе автоморфизмов группы кватернионов имеется элемент порядка . Пусть . Тогда принадлежит типу (2). Действительно, пусть - единственная подгруппа порядка 2 группы . Тогда и поэтому . Понятно, что - главный фактор группы и кроме того, . Таким образом, - максимальная подгруппа группы и все максимальные в подгруппы, индекс которых делится на 2, сопряжены с . Следовательно, - группа Шмидта.

Пусть

и - группа порядка 7. Ввиду леммы , - абелева группа порядка 9. Поскольку изоморфна некоторой подгруппе порядка 3 из группы автоморфизмов , то - группа операторов для с . Пусть . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы и не является нормальной подгруппой группы . Легко проверить, что все максимальные подгруппы группы , отличные от , цикличны и не являются нормальными подгруппами группы и поэтому - группа типа (3).

Пусть теперь и - такие простые числа, что делит . Тогда если - группа порядка , то в группе ее автоморфизмов имеется подгруппа порядка . Пусть , где - группа порядка . Тогда - группа операторов для с и поэтому группа принадлежит типу (3).

Пусть снова и - группы, введенные в примере, и , где Пусть - канонический эпиморфизм группы на факторгруппу . Пусть - прямое произведение групп и с объединенной факторгруппой (см. лемму ). Пусть - силовская -подгруппа группы . Тогда , где и поэтому

, где

Покажем, что . Поскольку и , то . Следовательно, и поэтому . Значит, . Так как и , то и поэтому . Пусть - неединичная подгруппа из . Ясно, что . Пусть . Мы имеем

Значит, и поэтому . Следовательно, - нормальная погруппа в . Таким образом, группа принадлежит типу (5).

Пусть - циклическая группа порядка , где - простое нечетное число. Согласно лемме , . Пусть теперь - произвольный простой делитель числа и - группа порядка в . Обозначим символом полупрямое произведение . Пусть - подгруппа порядка группы . Тогда и поэтому если , то согласно лемме , , что противоречит определению группы . Следовательно, , что влечет . Значит, группа принадлежит типу(6).

Покажем, наконец, что класс групп (7) не пуст. Пусть и - группы нечетных простых порядков и соответственно (). Тогда

и поэтому найдется такой простой делитель числа , который одновременно отличен от и . Пусть , где - группа порядка в . Тогда группа принадлежит типу (7).

4. Группы, в которых максимальные подгруппы перестановочны с

-максимальными подгруппами

В данном разделе дано описание групп, у которых каждая максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми ее -максимальными подгруппами.

Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобятся следующие леммы.

Класс всех таких абелевых групп ,что не содержит кубов, является формацией.

Доказательство.

Пусть . И пусть - произвольная нормальная подгруппа группы . Тогда абелева. Так как по определению экспоненты делит и поскольку не содержит кубов, то не содержит кубов. Следовательно, .

Пусть и . Покажем, что

Пусть . Тогда , где и . Так как , то по определению экспоненты . Из того, что и не содержат кубов, следует, что не содержит кубов. Поскольку группа изоморфна подгруппе из , то делит , и поэтому не содержит кубов. Так как группа абелева, то . Следовательно, - формация. Лемма доказана.