Быстрый поиск

Курсовая работа: Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

3. Группы, в которых

-максимальные подгруппы перестановочны с

-максимальными подгруппами

Целью данного раздела является описание ненильпотентных групп, у которых каждая -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами.

Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобится следующая лемма.

[3.1]. Пусть - группа Шмидта. Тогда в том и только том случае каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы , когда группа имеет вид:

(1) - группа Миллера-Морено;

(2) , где - группа кватернионов порядка , - группа порядка .

Доказательство. Необходимость. Предположим, что - группа Шмидта, у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы . Докажем, что в этом случае, либо - группа Миллера-Морено, либо , где - группа кватернионов порядка и - группа порядка . Предположим, что это не так и пусть - контрпример минимального порядка.

Так как - группа Шмидта, то ввиду леммы (I), , где - силовская -подгруппа в , - циклическая -подгруппа.

Покажем, что - группа простого порядка. Предположим, что это не так. Тогда в группе имеется собственная подгруппа простого порядка. Ввиду леммы (IV), и, следовательно, - нормальная подгруппа в группе и - группа Шмидта.

Понятно, что в группе каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы .

Поскольку , то и поэтому по выбору группы мы заключаем, что либо - группа Миллера-Морено, либо , где - группа кватернионов порядка и - группа порядка .

В первом случае - абелева подгруппа и, следовательно, - группа Миллера-Морено. Полученное противоречие с выбором группы показывает, что , где - группа кватернионов порядка и - группа порядка . Тогда , где - группа кватернионов порядка и - циклическая группа порядка . Пусть - такая максимальная подгруппа группы , что . Если , то . Поскольку - группа Шмидта, то нильпотентна, и поэтому . Это означает, что - нормальная подгруппа в группе . Полученное противоречие показывает, что . Следовательно, - максимальная подгруппа группы . Понятно, что - -максимальная подгруппа группы . Пусть - подгруппа группы с индексом . Ясно, что - -макимальная подгруппа группы . Так как по условию и перестановочны, то - подгруппа группы , индекс которой равен . Рассуждая как выше, видим, что - нормальная подгруппа группы . Полученное противоречие показывает, что - группа простого порядка.

Пусть - произвольная максимальная подгрупа в и - максимальная подгруппа в . Так как неабелева, то - неединичная подгруппа. Из того, что - максимальная подгруппа в , следует, что - 3-максимальная подгруппа в .

Ввиду леммы (II), - максимальная подгруппа в . Рассмотрим максимальную в подгруппу , такую что . Тогда

и - 2-максимальная подгруппа в . По условию подгруппы и перестановочны. Если , то используя лемму (V), имеем

Из того, что получаем, что порядок делит . Поскольку , то полученное противоречие показывает, что - собственная подгруппа группы . Следовательно, нильпотентна, и поэтому

Значит, либо - максимальная подгруппа в , либо . В первом случае получаем, что является единственной максимальной подгруппой в . Это означает, что - циклическая подгруппа, что противоречит выбору группы . Следовательно, первый случай невозможен. Итак, . Ввиду произвольного выбора получаем, что - единственная -максимальная подгруппа в группе . Из теоремы следует, что - либо циклическая группа, либо группа кватернионов порядка . Так как первый случай очевидно невозможен, то - группа кватернионов порядка . Поскольку подгруппа изоморфна погруппе группы автоморфизмов , то . Полученное противоречие с выбором группы доказывает, что либо - группа Миллера-Морена, либо , где - группа кватернионов порядка и - группа порядка .

Достаточность очевидна. Лемма доказана.

. В ненильпотентной группе каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы тогда и только тогда, когда группа имеет вид: