Быстрый поиск

Курсовая работа: Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

В силу (3), в группе имеется максимальная подгруппа , которая не является нормальной подгруппой в . Поскольку для любого , - максимальная в подгруппа и - максимальная подгруппа в , то - -максимальная в подгруппа. Если - нормальная подгруппа в , то . Значит, не является нормальной подгруппой в . Покажем, что - максимальная подгруппа группы . Пусть . Пусть - такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда . Значит, или . Первый случай, очевидно, невозможен. Следовательно, . Так как , то - максимальная в подгруппа. Тогда для любого , -перестановочна с . Поскольку , то ввиду леммы (6), перестановочна с . Из максимальности подгруппы следует, что или . Если , то ввиду леммы , . Полученное противоречие показывает, что . Тогда для любого и поэтому . Следовательно, . Это означает, что - нормальная подгруппа в , противоречие. Теорема доказана.

[2.1]. Каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна с любой максимальной подгруппой в тогда и только тогда, когда либо нильпотентна, либо - такая ненильпотентная группа с , что циклическая силовская -подгруппа группы не нормальна в , а максимальная подгруппа группы нормальна в .

Доказательство. Необходимость. Разрешимость группы следует из теоремы . Предположим теперь, что не является нильпотентной группой. Пусть - максимальная подгруппа группы , которая не является нормальной в . Пусть и - максимальная подгруппа группы . Рассуждая как выше видим, что . Следовательно, , и - циклическая примарная группа. Пусть . Покажем, что . Допустим, что . Пусть - силовская -подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная подгруппа группы и, следовательно, по условию - подгруппа группы , что противоречит максимальности подгруппы . Отсюда следует, что .

Достаточность очевидна. Следствие доказано.

[2.2]. Если в группе любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы и , то - нильпотентная группа.

В дальнейшем нам потребуется следующая теорема.

[2.2]. Пусть - группа, - ее подгруппа Фиттинга. Если любая -максимальная подгруппа группы -перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы , то группа разрешима и для каждого простого .

Доказательство. Предположим, что данная теорема не верна, и пусть - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) - разрешимая группа.

Действительно, если , то каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы . Тогда по следствию , каждая максимальная подгруппа группы сверхразрешима. Согласно известной теоремы Хупперта о разрешимости группы, в которой все собственные подгруппы сверхразрешимы, - разрешимая группа.

Пусть теперь . Так как условие теоремы справедливо для группы , то группа разрешима и поэтому - разрешимая группа.

(2) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

и ,

где - такая максимальная в подгруппа, что , и .

Так как класс всех разрешимых групп с образует насыщенную формацию , то ввиду (1), и поэтому в группе существует единственная минимальная нормальная подгруппа . Из леммы вытекает, что , где - такая максимальная в подгруппа, что и . Покажем, что делит . Если не делит , то - -группа, и поэтому , что противоречит выбору группы . Итак, делит . Допустим, что . Тогда факторгруппа изоморфна подгруппе группы автоморфизмов . Так как группа абелева, то - сверхразрешимая группа, и поэтому . Полученное противоречие с выбором группы показывает, что .

(3) Заключительное противоречие.

Пусть - -максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Тогда и . Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что является максимальной подгруппой группы . Покажем, что - максимальная подгруппы группы и - максимальная подгруппа группы . Так как , то - собственная подгруппа группы . Предположим, что в существует подгруппа такая, что . Тогда из того, что - максимальная подгруппа группы , следует, что либо , либо . Если , то , противоречие. Используя приведенные выше рассуждения видим, что . Следовательно, - максимальная подгруппа в . Рассуждая как выше, мы видим, что и - максимальные подгруппы группы . Отсюда следует, что - -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . По условию существует элемент такой, что . Следовательно,