Быстрый поиск

Курсовая работа: Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Если , то . Так как - подгруппа циклической группы , то . Из того, что - максимальная подгруппа группы , следует, что - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что - нормальная подгруппа в группе и поэтому . Это означает, что подгруппа перестановочна со всеми 2-максимальными подгруппами группы .

Если , то - подгруппа циклической группы и поэтому - нормальная подгруппа в . Так как группа нильпотентна, то - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что - нормальная подгруппа в и поэтому перестановочна со всеми 2-максимальными подгруппами группы .

3. Предположим теперь, что - нильпотентная группа, такая что , и не является нильпотентнай подгруппой. Тогда . Рассуждая как выше видим, что - группа Шмидта. Так как , то имеет вид

где - циклическая -группа.

Если , то . Но - подгруппа циклической группы и поэтому . Из того, что - максимальная подгруппа группы , следует, что - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что - нормальная подгруппа в группе и поэтому мы имеем , что влечет перестановочность подгруппы со всеми -максимальными подгруппами группы , в частности с .

Если , то подгруппа содержится в некоторой силовской -подгруппе группы . Так как - максимальная подгруппа группы , то и поэтому . Следовательно, - максимальная подгруппа группы . Значит, - нормальная подгруппа в . Так как - нильпотентная группа, такая что , то . Ясно, что - нормальная подгруппа группы . Если , то имеет вид . Так как , то имеет место и поэтому

Это означает, что подгруппы и перестановочны. Если , то и поэтому . Следовательно, подгруппы и перестановочны.

4. Если , то подгруппа является максимальной подгруппой группы индекса и - 2-максимальная подгруппа в . Но подгруппы такого вида уже изучены.

5. Если , то подгруппа является максимальной подгруппой группы с индексом и - максимальная подгруппа группы . Но как мы уже знаем, максимальные подгруппы группы перестановочны со всеми -максимальными подгруппами группы .

Это означает, что в любом случае перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .

Легко видеть, что в группе типа (4) каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .

Пусть - группа типа (5). Легко видеть, что в группе все -максимальные подгруппы группы нормальны в группе . Таким образом, каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .

Пусть - группа типа (6). Пусть - максимальная подгруппа группы . Понятно, что либо , либо , где . Отсюда следует, что - единственная неединичная -максимальная подгруппа группы . Так как , то - нормальная подгруппа в группе , и поэтому подгруппа перестановочна со всеми -максимальнаыми подгруппами группы .

Пусть - группа типа (7). Тогда , где - подгруппа группы простого порядка , - подгруппа группы простого порядка и - циклическая -подгруппа группы , которая не является нормальной подгруппой в группе , но максимальная подгруппа группы нормальна в . Покажем, что в группе любая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы . Предположим, что данное утверждение не верно, и пусть - контрпример минимального порядка.

Предположим, что . Пусть - -максимальная подгруппа группы . Понятно, что - нормальная подгруппа группы . Следовательно, перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы . Полученное противоречие с выбором группы показывает, что .

Пусть - подгруппа группы с индексом . Так как , то - неединичная подгруппа группы . Ясно, что - нормальная подгруппа группы . Факторгруппа имеет вид , где - силовская подгруппа порядка , - силовская подгруппа порядка , - циклическая силовская -подгруппа, которая не является нормальной подгруппой в , но максимальная подгруппа группы нормальна в группе . Поскольку , то и поэтому по выбору группы мы заключаем, что любая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы . Пусть - произвольная -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Понятно, что и . Отсюда следует, что - -максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы , и поэтому