Курсовая работа: Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами
(4) ,
где - группа порядка , - группа простого порядка , отличного от ;
(5) ,
где - группа порядка , каждая подгруппа которой нормальна в группе , - циклическая -группа и ;
(6) ,
где - примарная циклическая группа порядка , - группа простого порядка , где и ;
(7) ,
где и - группы простых порядков и (), - циклическая -подгруппа в (), которая не является нормальной в , но максимальная подгруппа которой нормальна в .
Доказательство. Необходимость. Пусть - ненильпотентная группа, у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы .
Если в группе все максимальные подгруппы нильпотентны, то группа является группой Шмидта. Ввиду леммы, группа оказывается группой типа (1) или типа (2).
Итак, мы можем предположить, что в группе существует ненильпотентная максимальная подгруппа.
Из теоремы следует, что группа разрешима. Так как в разрешимой группе индекс любой максимальной подгруппы является степенью простого числа, то .
I. .
Пусть - некоторая силовская -подгруппа в и - некоторая силовская -подгруппа в , где .
Предположим, что в группе нет нормальных силовских подгрупп. Так как группа разрешима, то в существует нормальная подгруппа простого индекса, скажем индекса , и она не является нильпотентной группой. Действительно, если нильпотентна, то в ней нормальна силовская -подгруппа . Так как , то - нормальная подгруппа в . Из того, что следует, что - нормальная силовская -подгруппа в . Полученное противоречие показывает, что не является нильпотентной подгруппой.
Так как является максимальной подгруппой в , то по условию все 2-максимальные подгруппы группы перестановочны с каждой максимальной подгруппой группы . Ввиду следствия , группа имеет вид , где - группа простого порядка и - циклическая -подгруппа.
Так как
и факторгруппа изоморфна подгруппе из , то больше .
Если - нильпотентная группа, то и поэтому согласно теореме Бернсайда , группа -нильпотентна. Но тогда . Полученное противоречие показывает, что является ненильпотентной группой. Так как - нормальная подгруппа в , то ввиду следствия , подгруппа имеет вид , где - циклическая -подгруппа, и, следовательно, . Полученное противоречие показывает, что в группе существует нормальная силовская подгруппа.
Пусть, например, такой является силовская -подгруппа группы . Пусть . Ясно, что .
Если в группе существует подгруппа Шмидта , индекс которой равен , то . Ввиду следствия , - группа порядка .
Пусь . Допустим, что - циклическая подгруппа. В этом случае, группа является группой Шмидта. Полученное противоречие с выбором группы показывает, что - нециклическая подгруппа. Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Если - нильпотентная подгруппа, то группа нильпотентна, противоречие. Следовательно, - группа Шмидта, и поэтому - циклическая подгруппа. Таким образом, группа относится к типу (3).
Пусть . Тогда . Следовательно, - -максимальная подгруппа группы . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы . Если - нильпотентная подгруппа, то , и поэтому . Полученное противоречие показывает, что - группа Шмидта. Значит, - циклическая подгруппа. Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Так как , то - единственная -максимальная подгруппа группы . Следовательно, . Факторгруппа , где - элементарная абелева подгруппа порядка и . Так как - неприводимая абелева группа автоморфизмов группы , то - циклическая группа, и поэтому подгруппа циклическая, противоречие.
Предположим теперь, что у всех подгрупп Шмидта индекс в группе является степенью числа .
Так как в группе существуют собственные подгруппы Шмидта, то . Пусть - подгруппа Шмидта группы . Тогда для некоторого . Понятно, что для некоторого имеет место и поэтому не теряя общности мы может полагать, что . Поскольку , то . Из того, что , следует, что .
Так как - максимальная подгруппа группы , то по условию 2-максимальные подгруппы группы перестановочны со всеми максимальными подгруппами в . Используя следствие, мы видим, что - группа простого порядка и - циклическая подгруппа, причем все собственные подгруппы группы нормальны в . Следовательно, является максимальной подгруппой группы .
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17