Быстрый поиск

Курсовая работа: Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

[4.1]. Пусть , где - формация, описанная в лемме. Если каждая максимальная подгруппа группы перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы , то .

Доказательство. Предположим, что лемма не верна, и пусть - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы группы , факторгруппа .

Пусть - максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Тогда - максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Из того, что по условию подгруппы и перестановочны, мы имеем

Поскольку , то и поэтому по выбору группы мы заключаем, что .

(2) имеет единственную минимальную нормальную подгруппу для некоторого простого , и где - максимальная подгруппа группы с .

Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы . Ввиду леммы, - разрешимая группа, и поэтому - элементарная абелева -группа для некоторого простого . Так как - насыщенная формация , то ввиду (1), - единственная минимальная нормальная подгруппа группы и . Пусть - максимальная подгруппа группы , не содержащая и . По тождеству Дедекинда, мы имеем . Из того, что абелева, следует, что и поэтому . Это показывает, что , .

(3) Заключительное противоречие.

Ввиду (2), для некоторой максимальной подгруппы группы имеем . Так как , то . Пусть - -максимальная подгруппа группы . Тогда по условию, для каждого . По лемме , и поэтому . Следовательно, . Это означает, что каждая -максимальная подгруппа группы единичная, и следовательно, - простое число для всех максимальных подгруппы группы . Так как для некоторого простого , то - максимальная подгруппа группы . Это означает, что - -максимальная подгруппа группы .

Предположим, что . Тогда в имеется неединичная максимальная подгруппа . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы , и поэтому перестановочна с . Следовательно, , но . Полученное противоречие показывает, что .

Поскольку ввиду (1),

, то - нильпотентная подгруппа.

Из того, что - неединичная нормальная подгруппа в группе , следует, что .

Так как факторгруппа изоморфна подгруппе группы автоморфизмов и группа автоморфизмов группы простого порядка является циклической группой порядка , то абелева. Из того, что и не содержит кубов, следует, что не содержит кубов. Это означает, что . Следовательно, , и поэтому - нильпотентная подгруппа. Таким образом, . Полученное противоречие с выбором группы доказывает лемму.

[4.1]. В примитивной группе каждая максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы тогда и только тогда, когда группа имеет вид:

(1) ,

где - группа порядка и - группа порядка , где ;

(2) ,

где - минимальная нормальная подгруппа в порядка и - группа порядка , где ;

(3) ,

где - группа порядка и - группа порядка , где .

(4) ,

где - группа порядка и - группа порядка , где - различные простые делители порядка группы .

Доказательство. Необходимость. Так как ввиду теоремы, группа разрешима, то , где - примитиватор группы и - единственная минимальная нормальная подгруппа группы , . Ввиду леммы , .

Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . По условию подгруппы и перестановочны. Следовательно, для любого , - подгруппа группы , и поэтому либо , либо . Ввиду леммы, первый случай не возможен. Следовательно, . Это означает, что для любого . Значит, . Следовательно, в группе все -максимальные подгруппы единичны. Это означает, что либо , либо , либо .