Быстрый поиск

Курсовая работа: Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Таким образом, задача изучения групп с заданной системой перестановочных и обобщенно перестановочных подгрупп вполне актуальна, и дальнейшей ее реализации посвящена данная работа.

1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Результаты, связанные с изучением максимальных подгрупп, составили одно из самых содержательных направлений в теории конечных групп. Это связано прежде всего с тем, что многие известные классы групп допускают описания на основе свойств максимальных подгрупп. Отметим, например, что группа нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы нормальны; сверхразрешима тогда и только тогда, когда индексы всех ее максимальных подгрупп просты ; разрешима тогда и только тогда, когда у любой ее максимальной подгруппы нормальный индекс совпадает с обычным индексом . Отметим также, что максимальные подгруппы лежат в основе многих важных признаков принадлежности группы выделенному классу групп. Наиболее известными результатами в этом направлении являются теорема Дескинса-Томпсона-Янко о том, что группа разрешима, если она обладает максимальной нильпотентной подгруппой, у которой класс нильпотентности силовских -подгрупп не превосходит 2 и теорема О.Ю. Шмидта о разрешимости группы, у которой все максимальные подгруппы нильпотентны. Отметим, что разрешимость групп, у которых все максимальные подгруппы сверхразрешимы, была установлена Хуппертом.

По мере развития теории максимальных подгрупп многими авторами предпринимались также попытки изучения и применения -максимальных, -максимальных и т.д. подгрупп. При этом, как и для максимальных подгрупп, с одной стороны рассматривались группы с различными ограничениями на способ вложения обобщенно максимальных подгрупп в эти группы, с другой стороны исследовались свойства основной группы в зависимости от условий, накладываемых на внутреннее строение -максимальных, -максимальных и т.д. подгрупп. Пожалуй, наиболее ранний результат, относящийся к этому направлению, был получен Хуппертом, установившим сверхразрешимость группы, у которой все вторые максимальные подгруппы нормальны. В дальнейшем этот результат был развит в нескольких направлениях. В частности, сверхразрешимость разрешимых групп, у которых все вторые максимальные подгруппы перестановочны со всеми силовскими подгруппами было установлена Агровалем , а в работе Л.А. Поляков доказал, что группа сверхразрешима, если любая ее -максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами этой группы .

Оказалось, что группы, у которых все -максимальные подгруппы нильпотентны, не обязательно разрешимы и полное описание групп с таким свойством в неразрешимом случае было получено Янком, а в разрешимом случае В.А. Белоноговым. Группы, у которых все -максимальные подгруппы абелевы, были описаны Я.Г. Берковичем в работе. Эти результаты получили развитие в работе В.Н. Семенчука, который дал полное описание разрешимых групп, у которых все их -максимальные подгруппы сверхразрешимы.

В последние годы получен ряд новых интересных результатов о -максимальных подгруппах, связанных с изучением их способа вложения в основную группу. В этой связи, прежде всего , в которых на языке -максимальных подгрупп получены описания ряда важных классов групп. Напомним, что подгруппа группы обладает свойством покрытия-изолирования, если для любого главного фактора группы выполняется одно из двух условий или . В работе доказано, что группа разрешима тогда и только тогда, когда в имеется такая -максимальная разрешимая подгруппа, которая обладает свойством покрытия-изолирования. Отметим также, что в работе, а также в работе изучалось строение групп, в зависимоси от -максимальных подгрупп их силовских подгрупп.

Пусть и - подгруппы группы . Тогда подгруппа называется -перестановочной с , если в найдется такой элемент , что . В работе найдены новые описания нильпотентных и сверхразрешимых групп на основе условия -перестановочности для -максимальных подгрупп. В частности, доказано, что: Группа нильпотентна тогда и только тогда, когда для любой -максимальной подгруппы группы , имеющей непримарный индекс, в найдется такая нильпотентная подгруппа , что и -перестановочна со всеми подгруппами из .

Пусть - набор всех -максимальных подгрупп группы .

Как показывают упомянутые выше результаты работ, условия перестановочности, накладываемые на подгруппы из , существенно определяют строение основной группы. В работе Л.Я. Полякова было доказано, что группа разрешима, если любая подгруппа из перестановочна со всеми подгруппами из для всех , где . В связи с этим результатом естественно возникает вопрос о полном описании групп с таким свойством. Решению данной задачи и посвящена настоящая глава.

2. Группы с

-перестановочными

-максимальными подгруппами

Отмеченные выше результаты работы допускают следующие уточнения.

[2.1]. Пусть - группа, - ее подгруппа Фиттинга. Если любая -максимальная подгруппа группы -перестановочна со всеми максимальными подгруппами группы , то группа метанильпотентна.

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа метанильпотентна.

Рассмотрим факторгруппу . Пусть - произвольная максимальная в подгруппа и - произвольная -максимальная подгруппа. Тогда максимальна в и -максимальна в , а значит, по условию подгруппа -перестановочна с подгруппой . Но тогда, согласно лемме , подгруппа -перестановочна с подгруппой . Итак, условие теоремы выполняется в . Но и поэтому согласно выбора группы , мы имеем (1).

(2) - разрешимая группа.

Если в группе существует единичная -максимальная подгруппа, то теорема очевидно справедлива. Предположим, что в группе все -максимальные подгруппы отличны от единицы. Докажем, что для каждой максимальной подгруппы группы , . Пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда по условию для каждого , мы имеем . Ввиду леммы , и, следовательно, . Значит, . Поскольку , то и поэтому по выбору группы мы заключаем, что - разрешимая группа. Это означает, что разрешима, и следовательно, - разрешимая группа.

(3) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и , где и - максимальная в подгруппа, которая не является нильпотентной группой.

Пусть - произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех метанильпотентных групп образует насыщенную формацию (см. лемму ), то - единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . В силу (2), является элементарной абелевой -группой для некоторого простого . Пусть - максимальная подгруппа в такая, что . Пусть . Ясно, что . Так как , мы видим, что . Это показывает, что и, следовательно, . Ясно, что и поэтому по выбору группы , не является нильпотентной группой.