Быстрый поиск

Курсовая работа: Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Если подгруппы и нильпотентны, то и , и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Значит, подгруппы и не могут быть обе нильпотентными подгруппами. Следовательно, возможны следующие случаи.

а) и - группы Шмидта.

Так как , то ввиду следствия , - подгруппа простого порядка и - циклическая подгруппа, которая не является нормальной в группе , но максимальная подгруппа группы нормальна в . Аналогично видим, что - подгруппа простого порядка и - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что - нормальная подгруппа в , и поэтому является группой типа (7).

б) Одна из подгрупп , является нильпотентной, а другая - группой Шмидта.

Пусть например, - группа Шмидта и - нильпотентная подгруппа. Из следствия следует, что - группа простого порядка , - циклическая группа и максимальная подгруппа из нормальна в . Так как - нильпотентная группа, то . Из того, что следует, что - нормальная подгруппа в группе . Значит, ввиду леммы , - нормальная максимальная подгруппа в группе и поэтому . Следовательно, - группа простого порядка .

Из того, что - нильпотентная подгруппа и - циклическая группа следует, что - нормальная подгруппа в . Следовательно, - нормальная подгруппа в группе , т.е. - группа типа (7).

2. Предположим теперь, что - ненильпотентная группа.

Из следствия следует, что , где - группа простого порядка и - циклическая группа, которая не является нормальной в группе , но максимальная подгруппа из нормальна в . Так как - характеристическая подгруппа в и - нормальная подгруппа в , то - нормальная подгруппа в . Из того, что - нормальная максимальная подгруппа в группе , следует, что - группа простого порядка .

Покажем теперь, что - нормальная подгруппа в группе . Так как , то - -максимальная подгруппа группы . Пусть - -максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная подгруппа группы для любого . По условию - подгруппа группы . Поскольку порядок

делит , то . Таким образом для любого , т.е. . Так как - нормальная подгруппа в группе , то , и поэтому . Отсюда получаем, что - нормальная подгруппа в группе . Поскольку - -максимальная подгруппа, то согласно следствия, - нильпотентная группа, и поэтому . Это означает, что - нормальная подгруппа в группе . Таким образом, группа является группой типа (7).

Итак, - группа одного из типов (1) - (7) теоремы.

Достаточность. Покажем, что в группе каждая -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .

Пусть - группа типа (1) или (2). Ввиду леммы , в группе каждая -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы .

Пусть - группа типа (3). Тогда и , где - группа простого порядка , - нециклическая группа и все ее максимальные подгруппы, отличные от , цикличны. Пусть .

Так как , то , и поэтому в группе существует нильпотентная максимальная подгруппа, индекс которой равен . Пусть - произвольная нильпотентная максимальная подгруппа группы с индексом . Тогда . Так как - максимальная подгруппа группы , то - нормальная подгруппа в , и следовательно,

Значит, - единственная нильпотентная максимальная подгруппа, индекс которой равен .

Пусть - произвольная максимальная подгруппа в и - максимальная подгруппа в . Пусть - произвольная максимальная подгруппа в , - максимальная подгруппа в , - максимальная подгруппа в .

1. Если и - нильпотентные подгруппы группы индекса , то . Так как - максимальная подгруппа группы , то - нормальная подгруппа в , и следовательно, перестановочна с .

2. Предположим, что является ненильпотентной подгруппой. Так как , то . Из того, что , следует, что - циклическая подгруппа. Так как , то - максимальная подгруппа группы , и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Из того, что , следует, что . Следовательно, - нильпотентная максимальная подгруппа группы , индекс которой равен . Если - максимальная подгруппа группы такая, что , то - -подгруппа, и поэтому - нильпотентная подгруппа. Пусть - произвольная максимльная подгруппа группы , индекс которой равен . Так как , то . Следовательно, для некоторого мы имеем . Без ограничения общности можно полагать, что . Так как - максимальная подгруппа циклической группы , то , и поэтому - нильпотентная максимальная подгруппа. Следовательно, - группа Шмидта. Значит, и поэтому , где - циклическая -подгруппа.