Быстрый поиск

Курсовая работа: Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

2. Пусть . Допустим, что . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная подгруппа группы . По условию подгруппы и перестановочны. Следовательно, . Полученное противоречие показывает, что . В этом случае - группа типа (2).

3. Пусть . Рассуждая как выше, видим, что . Значит, - группа типа (4).

Достаточность очевидна. Лемма доказана.

Поскольку в любой нильпотентной группе максимальная подгруппа нормальна, то все они перестановочны со всеми -максимальными подгруппами группы . Опишем теперь ненильпотентные группы, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подруппами.

[4.2]. В ненильпотентной группе каждая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы тогда и только тогда, когда либо где - различные простые числа и либо - группа типа (2) из теоремы , либо - сверхразрешимая группа одного из следующих типов:

(1) ,

где - группа простого порядка , а - такая бипримарная группа с циклическими силовскими подгруппами, что , где и ;

(2) ,

где - группа простого порядка , - циклическая -группа с () и ;

(3) ,

где - группа простого порядка , - -группа с (), и все максимальные подгруппы в , отличные от , цикличны.

Доказательство. Необходимость.

Пусть - группа, в которой каждая максимальная подгруппа перестановочна с любой -максимальной подгруппой группы .

Поскольку - ненильпотентная группа, то в ней существует максимальная подгруппа , которая не является нормальной в . Тогда . Следовательно, - примитивная группа, которая удовлетворяет условиям леммы .

I. Пусть , где и - простые числа (не обязательно различные). Ввиду леммы , и .

Так как , то содержится в некоторой максимальной подгруппе группы . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Следовательно, для любого подгруппы и перестановочны. Это означает, что . Поскольку , то либо , либо . Ясно, что первый случай не возможен. Следовательно, - единственная максимальная подгруппа группы , и поэтому - примарная циклическая группа. Ввиду произвольного выбора , - примарная циклическая группа.

Пусть . Тогда для некоторого . Пусть - силовская -подгруппа группы , - силовская -подгруппа группы и - силовская -подгруппа группы . Так как

то - группа порядка и . Из того, что факторгруппа сверхразрешима и подгруппа циклическая, следует, что - сверхразрешимая группа. Допустим, что - наибольший простой делитель порядка группы . Тогда и поэтому . Значит, и , противоречие. Если - наибольший простой делитель порядка группы , то рассуждая как выше видим, что и . Полученное противоречие показывает, что - наибольший простой делитель порядка группы . Значит, - нормальная подгруппа в группе . Если , то и , где - группа порядка , - -группа. Ясно, что - единственная -максимальная подгруппа в . Поскольку - неприводимая абелева группа автоморфизмов группы , то - циклическая группа и поэтому - циклическая группа. Следовательно, - группа типа (2).

Пусть теперь . Поскольку в группе все максимальные подгруппы примарны и цикличны, то и поэтому .

II. Пусть . Согласно лемме , , где - минимальная нормальная подгруппа в группе и либо , либо .

1. Пусть .

Пусть - силовская -подгруппа группы .

Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Рассуждая как выше видим, что - примарная циклическая группа. Значит, .

Предположим, что - -группа. Тогда . Пусть - максимальная подгруппа группы .

Допустим, что . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что . Тогда - -максимальная подгруппа группы , и следовательно, - подгруппа группы , что влечет