Быстрый поиск

Курсовая работа: Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Допустим, что . Тогда - силовская -подгруппа группы и . Из сверхразрешимости группы следует, что - нормальная подгруппа группы . Значит, , где - группа простого порядка . Ясно, что и поэтому . Поскольку все максимальные подгруппы группы , отличные от , цикличны, то - группа типа (3).

Пусть . Тогда и - нормальная подгруппа группы . Значит, . Так как - максимальная подгруппа группы , то - циклическая подгруппа и . Если , то . Если , то - группа типа (1).

Пусть теперь, - различные простые числа. Тогда и . Если - нормальная подгруппа группы , то и поэтому - группа типа (1). Пусть не является нормальной подгруппой группы . Тогда - наибольший простой делитель порядка группы и поэтому - нормальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что и . Допустим, что - нормальная подгруппа группы . Значит, в ней существует нормальная силовская подгруппа. Если , то и поэтому - нормальная подгруппа группы . Полученное противоречие показывает, что для некоторого , - нормальная подгруппа группы . Следовательно, - нормальная подгруппа группы , противоречие. Значит, не является нормальной подгруппой в группе . Рассуждая как выше видим, что у все максимальные подгруппы отличные от примарны и цикличны и . Значит, - группа типа (1).

Достаточность. Если и , то очевидно, что любая -максимальная погруппа группы перестановочна с ее максимальными подгруппами.

Пусть - группа Шмидта, где - группа кватернионов порядка и - группа порядка . Ясно, что в группе -максимальные подгруппы перестановочны со всеми максимальными подгруппами.

Предположим теперь, что - группа типа (1)-(3). Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Докажем, что подгруппы и перестановочны.

Пусть - группа типа (1). Пусть .

1. Пусть , где - простое число, отличное от . Пусть - силовская -подгруппа группы , которая содержится в . Тогда .

Допустим, что . Поскольку группа сверхразрешима, то индекс максимальной подгруппы является простым числом.

Пусть . Тогда . Значит, . Поскольку

то - максимальная в подгруппа. Если , то - примарная циклическая группа. Так как делит , то , и поэтому для некоторого , . Полученное противоречие показывает, что . Это означает, что - нормальная подгруппа в .

Допустим, что . Пусть . Тогда - нормальная подгруппа в . Поскольку в любая максимальная подгруппа индекса совпадает с , то - нормальная подгруппа в и поэтому перестановочна с .

Пусть теперь . Пусть - силовская -подгруппа и - силовская -подгруппа в соответственно. Пусть . Тогда и поэтому для некоторого , . Из того, что , следует, что - максимальная подгруппа группы . С другой стороны, - максимальная подгруппа циклической группы . Значит, . Отсюда следует, что и поэтому - нормальная подруппа в . Следовательно, перестановочна с . Пусть . Тогда для некоторого , . Рассуждая как выше видим, что . Значит, - нормальная подгруппа в . Поскольку

то . Это означает, что подгруппы и перестановочны. Пусть . Используя приведенные выше рассуждения видим, что - нормальная подгруппа в . Поскольку , то - нормальная подгруппа в . Следовательно, подгруппы и перестановочны. Пусть . Рассуждая как выше видим, что - нормальная подгруппа в и . Значит, . Следовательно, подгруппы и перестановочны. Пусть теперь . Поскольку , то - нормальная подгруппа в . Пусть . Тогда , где . Пусть - силовская -подгруппа группы . Пусть . Тогда - -группа и для некоторого , . Без ограничения общности можно предположить, что . Поскольку , то . Значит, . Следовательно, подгруппы и перестановочны. Пусть . Тогда . Следовательно, и поэтому подгруппа перестановочна с . Пусть . Тогда . Ясно, что . Следовательно, . Это означает, что подгруппы и перестановочны. Пусть . Тогда . Поскольку , то