Быстрый поиск

Реферат: Распределенные алгоритмы

Лемма 13.5 Достижимой развилки не существует.

Доказательство. Пусть - достижимая конфигурация и - подмножество самое большее из процессов.

Пусть будет дополнением , т.е., . В по меньшей мере N-t процессов, следовательно существует решенная конфигурация такая, что (Утверждение 13.4). Конфигурация либо 0-, либо 1-решенная; положим, что она 0-решенная.

Сейчас будет показано, что ни для какой 1-валентной ; пусть - любая такая конфигурация, что . Так как шаги в и заменяются (Утверждение 13.1), есть конфигурация , которая достижима и из , и из. Так как - 0-решенна, то и- тоже, что показывает не 1-валентность . o

13.1.2 Доказательство невозможности

Сначала, используя нетривиальность проблемы, покажем что существует бивалентная начальная конфигурация (Лемма 13.6). Вполедствии будет показано, что начиная с бивалентной конфигурации, каждый доступный шаг можно исполнять без перехода в унивалентную конфигурацию (Лемма 13.7). Этого достаточно, чтобы показать невозможность алгоритмов согласия (Теорема 13.8). В дальнейшем, пусть А - 1-аварийно-устойчивый алгоритм согласия.

Лемма 13.6 Для А существует бивалентная начальная конфигурация.

Доказательство. Так как А нетривиален (Определение 13.3), то есть достижимые 0- и 1-решенные конфигурации; пусть и - начальные конфигурации такие, что -решенная конфигурация достижима из .

Если , эта начальная конфигурация бивалентна и результат имеет силу. Иначе, есть начальные конфигурации и такие, что -решенная конфигурация достижима из , и и различаются входом одного процесса. Действительно, рассмотрим последовательность начальных конфигураций, начинающуюся с и заканчивающуюся , в которой каждая следующая начальная конфигурация отличается от предыдущей в одном процессе. (Эта последовательность получается инвертированием входных битов одного за другим.) Из первой конфигурации в последовательности, , достижима 0-решенная конфигурация, и из последней, , достижима 1-решенная конфигурация. Так как решенная конфигурация достижима из каждой начальной конфигурации, описанные и можно найти в последовательности. Пусть - процесс, в котором и различны.

Рассмотрим законное выполнение, начинающееся с , в которой не делает шагов; это выполнение 1-аварийно законное и следовательно достигает решенной конфигурации . Если 1-решенная, бивалентна. Если 0-решенная, заметьте, что отличается от только в , а не делает шагов в выполнении; следовательно достижима из , что показывает бивалентность . (Более точно, конфигурация достижима из , где отличается от только в состоянии ; следовательно 0-решенная.) o

Чтобы поñòðîèòь законное выполнение без принятия решения мы должны показать, что каждый процесс может сделать шаг, и что каждое сообщение может быть получено не обуславливая принятие решения. Пусть шаг s обозначает получение и обработку отдельного сообщения или спонтанное действие (внутреннее или посылки) отдельного процесса. Состояние процесса, делающего шаг, может привести к различным событиям. Прием сообщения применим, если оно в пути, и спонтанный шаг всегда применим.

Лемма 13.7 Пусть - достижимая бивалентная конфигурация и s - применимый шаг для процесса p в . Существует последовательность событий такая, что s применим в , и бивалентна.

Доказательство. Пусть С - множество конфигураций, достижимых из без применения s, т.е., С = {: s не происходит в }; s применим в каждой конфигурации С (напомним, что s - шаг, а не отдельное событие).

В С есть конфигурации и такие, что из достижима v-решенная конфигурация. Чтобы убедится в этом, заметим, что, т.к. бивалентна, из нее достижимы v-решенные конфигурации для v =0,1. Если (т.е. для достижения решенной конфигурации s не применялся), заметим, что , тем не менее, v-решенная, поэтому выберем . Если (т.е. для достижения решенной конфигурации s применялся), выберем как конфигурацию, из которой применялся s.

Если , - искомая бивалентная конфигурация. Предположим, что , и рассмотрим конфигурации на путях от до и . Две конфигурации на этих путях называются соседними, если одна получается из другой за один шаг. Так как 0-решенная конфигурация достижимаа из и 1-решенная конфигурация достижима из , то

(1) на путях есть конфигурация такая, что бивалентна; или

(2) есть соседи и такие, что 0-валентна и - 1-валентна.

В первом случае - искомая бивалентная конфигурация и лемма доказана. Во втором случае, одна конфигурация из и - развилкой, что является противоречием. Действительно, предположим, что получена за один шаг из , т.е., для события e в процессе q. Теперь - это и, следовательно, 1-валентна, но не 1-валентна, т.к. уже 0-валентна. Итак, е и s не заменяются, что подразумевает (Теорема 2.19) , что p = q, но тогда достижимая конфигурация удовлетворяет и . Так как первая 0-валентна, а последняя 1-валенттна, - развилка, что является противоречием. o

Теорема 13.8 Асинхронного, детерминированного, 1-аварийно-устойчивого алгоритма согласия не существует.

Доказательство. Если предположить, что такой алгоритм существует, можно построить законное выполнение без принятия решения, начиная с бивалентной начальной конфигурации .

Когда построение дойдет до конфигурации , выберем в качестве применимый шаг, который был применим самое большое число раз. По предыдущей лемме, выполнение можно расширить так, что исполняется и достигается бивалентная конфигурация .

Такое построение дает бесконечное законное выполнение, в котором все процессы корректны, но решение никогда не будет принято. o

13.1.3 Обсуждение

Вывод утверждает, что не существует асинхронных, детерминированных, 1-аварийно-устойчивых алгоритмов решения для проблемы согласия; это исключает алгоритмы для класса нетривиальных проблем. (см. Подраздел 12.2.2).

К счастью, некоторые предположения, лежащие в основе результата Фишера, Линча и Патерсона, можно выразить явно, и результат, как оказывается, очеть чувствителен к ослаблению любого из них. Несмотря на вывод о невозможности, многие нетривиальные проблемы имеют решения, даже в асинхронных системах и где процессы могут отказывать.

(1) Ослабленная модель отказов. Раздел 13.2 рассматривает модель отказов изначально-мертвых процессов, которая слабее, чем модель аварий, и в этой модели согласие и выборы детерминированно достижимы.

(2) Ослабленная координация. Раздел 13.3 рассматривает проблемы, которые требуют менее тесной координации между процессами, чем согласие, и показывает, что некоторые из этих проблем, включая переименование, разрешимы в модели аварий.

(3) Рандомизация. Раздел 13.4 рассматривает протоколы с уравненными вероятностями, где требование завершения достаточно ослаблено, чтобы обеспечить решения даже при присутствии Византийских отказов.

(4) Слабое требование завершения. Раздел 13.5 рассматривает другое ослабление требования завершения, а именно где разрешение требуется только когда данный процесс корректен; здесь также возможны Византийско-устойчивые решения.

(5) Синхронность. Влияние синхронности изучается далее в Главе 14.

Возможны довольно тривиальные решения, если одно из трех требований Определения 13.3 просто опущено; см. Упражнение 13.1. Исключение предположения (неявно использованного в доказательстве Леммы 13.6) о том, что возможны все комбинации входов, изучается в Упражнении 13.2.

13.2 Изначально-мертвые Процессы

В модели изначально-мертвых процессов, ни один процесс не может отказать после исполнения события, следовательно, при законном выполнении каждый процесс исполняет либо 0, либо бесконечно много событий.

Определение 13.9 t-изначально-мертвых законное выполнение - выполнение, в котором по крайней мере N-t процессов активны, каждый активный процесс исполняет бесконечно много событий, и каждое сообщение, посылаемое корректному процессу, принимается.

В t-изначально-мертвых-устойчивом алгоритме согласия, каждый корректный процесс принимает решение в каждом t-изначально-мертвых законном выполнении. Согласованность и нетривиальность определяются так же, как в модели аварий.

var , , : sets of processes init 0;