Рис. 9в
Таким образом, если оси b и c - скрещивающиеся, то прямые a, b и c попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр h. Ось l удовлетворяет следующим условиям: l и h - перпендикулярные прямые, расстояния между прямыми b, c и a, l равны, и углы между этими осями также равны.
Обобщая все рассмотренные случаи, получаем, что композиция трех осевых симметрий является осевой симметрией, если исходные оси либо попарно параллельны, либо попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр, либо лежат в параллельных плоскостях по две, пересекаются, и прямая, проведенная через точки пересечения, является для осей общим перпендикуляром.
Задача
10. Композиция трех осевых симметрий
есть перенос: Sc◦Sb◦Sa=
. Каково взаимное положение их осей?
Решение. Если прямые b и c параллельны, то композиция Sc◦Sb является переносом 
. Тогда 
◦Sa=
, полученное равенство эквивалентно равенству Sa=
◦
или Sa=
(этот факт легко доказывается по аналогии с
композицией переносов в планиметрии, см. [2], с. 308). Это равенство
противоречиво, а значит композиция Sc◦Sb◦Sa при параллельных b и c не может быть переносом.
Если прямые b и c пересекаются в точке O, то композиция Sc◦Sb является поворотом Rhj, где h – перпендикуляр к плоскости,
проходящей через прямые b и c, при этом точка O принадлежит оси поворота h, и угол j=2Ð(b, c). Тогда исходная композиция Sc◦Sb◦Sa=
будет эквивалентна следующей композиции Rhj◦Sa=
. Такое возможно только, если поворот Rhj является осевой симметрией
пространства, т.е. угол j=±p , при чем оси симметрий a и h параллельны, и расстояние между ними
равно 
. В силу этих рассуждений, получили,
что ось a перпендикулярна плоскости (b, c), а прямые b и c перпендикулярны между собой.
Таким образом, при пересекающихся осях b и c для выполнения исходного равенства необходимо, чтобы прямые a, b и c были попарно перпендикулярными.
Если b и c скрещиваются, то композиция Sc◦Sb является винтовым движением Rhj◦
, где h – общий перпендикуляр прямых b и c, угол j=2Ð(b, c), 
=
(рис. 10).
|
|
h |
||||||||||||
|
B |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
b |
|||||||||||||
|
c |
|||||||||||||
|
C |
|
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
Рис. 10
Следовательно,
Sc◦Sb◦Sa=
эквивалентно равенству Rhj◦
=
◦Sa. А это возможно, если угол j=±p, и прямые a и h параллельны, иначе говоря прямая a перпендикулярна b и c. Т.е. исходное равенство при
скрещивающихся прямых b и c возможно, если все три оси взаимно
перпендикулярны.
Таким образом, композиция трех осевых симметрий пространства есть перенос, если оси этих симметрий попарно перпендикулярны.
1.5. Применение композиций движений пространства к решению задач
Аппарат движений пространства, а в частности композиции движений пространства, можно эффективно применять для решения геометрических задач.
Задача 11. Докажите, что биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла DABC и биссектриса угла, смежного с третьим плоским углом, лежат в одной плоскости.
Решение. Пусть DE, DF – биссектрисы плоских углов ADB и BDC, DH – биссектриса угла, смежного с углом ADC, т.е. ÐDAE=ÐEDC, ÐBDF=ÐFDC, ÐCDH=ÐHDK (рис.11).
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
