Рис. 3
Если плоскости a, b, g попарно перпендикулярны, то искомая композиция является центральной симметрией Zo.
Рассмотрим
случай, когда плоскости a, b, g исходных симметрий попарно пересекаются по параллельным
прямым, т.е. a║b║c. Тогда в каждой плоскости,
перпендикулярной этим прямым, композиция f=Sg◦Sb◦Sa индуцирует композицию осевых
симметрий относительно прямых пересечения этой плоскости с плоскостями a, b, g. А она является переносной
симметрией рассматриваемой плоскости с определенными осью l и вектором 
. Поэтому, учитывая род композиции, композиция f есть переносная симметрия
пространства с вектором 
и плоскостью, проходящей через прямую
l параллельно прямым a, b, c.
1.2. Композиции центральных симметрий пространства
Задача 4. Найти композицию: а) двух центральных симметрий пространства, б) центральной симметрии и переноса, в) трёх центральных симметрий пространства.
Решение. а) Найдём композицию центральных симметрий пространства с центрами A и B. Для этого найдём образ произвольной точки M после применения композиции ZB◦ZA:
(ZB◦ZA)(M)=P (рис. 4).
|
|
M |
|||||||
A |
||||||||
P |
||||||||
B |
||||||||
N |
Рис. 4
Для треугольника MNP имеет место равенство: 
=2
. Точки A и B заданы, следовательно, вектор 
- постоянный, и искомая композиция двух центральных
симметрий ZB◦ZA есть параллельный перенос на вектор 2
:
ZB◦ZA=
. (1)
б)
Найдем композицию центральной симметрии ZO и переноса 
в пространстве. Представим перенос 
как композицию двух центральных симметрий: 
=ZB◦ZO, где 
=
. Следовательно, 
◦ZO=(ZB◦ZO)◦ZO . Это равенство эквивалентно
равенству:
◦ZO=ZB .
(2)
Таким образом, композиция
центральной симметрии ZO и переноса 
есть центральная симметрия ZO , центр которой определяется
условием 
=
.
в)
Найдем композицию трех центральных симметрий пространства f=ZC◦ZB◦ZA . Композицию ZC◦ZB представим в виде переноса в
соответствии с выводом (1): ZC◦ZB=
. Тогда искомая композиция будет иметь следующий вид: f=
◦ZA. Воспользовавшись выводом (2),
заметим, что правая часть равенства есть центральная симметрия ZO , центр О которой
определяется условием 
=
. Таким образом, композиция трех центральных симметрий
пространства является центральной симметрией.
Пользуясь ассоциативностью композиции и выводами, полученными ранее, обобщим:
1) композиция четного числа центральных симметрий пространства является переносом;
2) композиция нечетного числа центральных симметрий пространства является центральной симметрией.
Задача 5. Найти композицию центральных симметрий пространства относительно последовательно взятых вершин параллелограмма ABCD.
Решение. Требуется найти композицию f=ZD◦ZC◦ZB◦ZA (рис. 5).
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
