Дипломная работа: Композиции преобразований

                                                Рис. 13

 Найдем образ точки пересечения построенной прямой n и прямой XX2 при гомотетии HOk: HOk(S)=S1. Тогда =, поэтому точка S при заданной композиции неподвижна, кроме того, не зависит от выбора точки X. С учетом того, что =k, =k(т.к. треугольники SOX и X1XX2 подобны), искомая композиция является гомотетией HSk.

Таким образом, ◦HOk=HSk.                                                    (4)

Задача 14. Найти композицию двух гомотетий пространства.

Решение. Рассмотрим образ произвольной точки X после применения композиции гомотетий  f=HBm◦HAk. Пусть HAk (X)=X1, т.е. по определению гомотетии =k,  HBm(X1)=X2, т.е. =m (рис.14). Найдем образ точки A после применения гомотетии HBm: HBm(A)=A1, т.е. =m. Таким образом, отрезок A1X2 – это образ отрезка AX после применения данной композиции, при этом прямые, содержащие эти отрезки параллельны (это следует из подобия треугольников ABX1 и A1BX2). Если прямые AA1 и XX2 пересекаются (обозначим точку их пересечения C), тогда, рассматривая подобные треугольники ACX и A1CX2 , выразим вектор :

==, при этом =m=km.

                                             Рис. 14

Следовательно, = km. Точка C не зависит от выбора точки X, значит композиция f является гомотетией с центром в C:

                                        HBm◦HAk=HCkm.                                   (5) 

 Если прямые AA1 и XX2 не пересекаются, т.е. =, то km=1, следовательно, композиция f есть перенос пространства:

                                       HBm◦HAk=.                                       (6)

Все эти рассуждения верны и для совпадающих центров исходных гомотетий.

Задача 15. Найти композицию двух подобий пространства.

Решение. Так как любое подобие пространства можно представить в виде композиции поворота и гомотетии, центр которой лежит на оси поворота, то, учитывая ассоциативность этого представления, будем находить требующуюся композицию в следующем виде: f=HBm◦Rhb◦Rla◦HAk.

Рассмотрим несколько случаев.

1)Если оси поворотов h и l параллельны, и при этом сумма углов не  равна 2p, то композиция поворотов является поворотом Rna+b , где ось n параллельна исходным осям h, l. Тогда f=HBm◦Rna+b◦HAk, при этом композиция Rna+b◦HAk является по определению подобием, а значит, эта композиция может быть представлена в виде HDk◦Rpa+b. И равенство f=HBm◦Rna+b◦HAk эквивалентно равенству f=HBm◦HDk◦Rpa+b . По формуле (5) HBm◦HDk=HCkm (при km¹1), значит f=HCkm◦Rpa+b, а это по определению подобие. При km=1 по формуле (6) HBm◦HDk=, и f=◦Rpa+b, а это, в общем случае, винтовое движение.

 2)Если же при параллельных осях данных поворотов h и l сумма углов равна 2p, то композиция поворотов Rhb◦Rla является переносом пространства , и в этом случае f=HBm◦◦HAk. Композиция ◦HAk согласно выводу (4) есть гомотетия с центром в некоторой точке C с коэффициентом k: ◦HAk=HСk. Следовательно, f=HBm◦HСk, а это гомотетия пространства (согласно формуле (5)) или параллельный перенос пространства (по (6) ).

3)Если прямые h и l пересекаются, то композиция поворотов Rhb◦Rla является поворотом Rnw. И нахождение композиции f сводится к случаю 1.

4)Если оси h и l скрещиваются, то композиция поворотов Rhb◦Rla является винтовым движением, следовательно, композиция Rhb◦Rla◦HAk является подобием пространства, которое можно представить композицией поворота и гомотетии: Rhb◦Rla◦HAk=Rnw◦HСn. Тогда нахождение f сводится к случаю 1.

Таким образом, композиция двух подобий пространства, произведение коэффициентов которых не равно 1, есть подобие пространства или гомотетия (в случае параллельных осей поворотов и сумме их углов 2p), в тривиальном случае, когда произведение коэффициентов исходных подобий равно 1, эта композиция может вырождаться в винтовое движение пространства или перенос.

Аналогичная ситуация обстоит и с композицией аффинных преобразований пространства, т.е. в общем случае композиция двух аффинных преобразований пространства также является аффинным преобразованием.

Литература

1. Гусев В. А., Тхамафокова С. Т.  Преобразования пространства. Москва: «Просвещение», 1979.

2. Понарин Я. П.  Геометрия: Учебное пособие. Ростов-на-Дону: «Феникс», 1997.

3.  Понарин Я. П.  Преобразования пространства. Киров: 2000.  

4.  Скопец З. А.  Геометрические миниатюры. Москва: «Просвещение», 1990.