Быстрый поиск

Дипломная работа: Композиции преобразований

u¢

Рис. 2

Угол w винтового движения можно вычислить через углы a и b данных поворотов и угол g=. По теореме косинусов для трехгранного угла с вершиной B, ребрами которого являются лучи h, u¢, v, справедливо следующее равенство:

cos = - coscos - sin sin cosg (доказательство данной формулы можно найти в [4], с. 26).

Рассмотрим случай, когда оси a и b пересекаются (в точке B). Тогда прямые u и v также будут пересекаться в точке B, и u¢ совпадет с прямой u. Искомая композиция Rbb◦Raa есть поворот Rlw, причем угол этого поворота подсчитывается по указанной выше формуле. При a║b и a+b¹2p прямые u и v пересекаются в точке O. И рассматриваемая композиция Rbb◦Raa есть поворот Rla+b, ось l которого проходит через точку O параллельно прямым a и b.

При a║b и a+b=2p будет u║v. В этом случае композиция поворотов является переносом.

Задача 3. Найти композицию трех зеркальных симметрий.

Решение. Выделим случай, когда композиция трех зеркальных симметрий является зеркальной симметрией, Sg◦Sb◦Sa=Sw . Это равенство эквивалентно равенству Sb◦Sa=Sg◦Sw . Если плоскости a и b имеют общую прямую l, то Sb◦Sa=Rlj и поэтому Sg◦Sw=Rlj. Следовательно, все четыре плоскости имеют общую прямую l. Если же плоскости a и b параллельны, то Sb◦Sa= и Sg◦Sw=. Следовательно, все четыре плоскости параллельны.

Нетрудно доказать обратное. Таким образом, если плоскости зеркальных симметрий пересекаются по одной прямой или параллельны, то их композиция является зеркальной симметрией, плоскость которой соответственно содержит прямую пересечения или параллельна плоскостям, исходных симметрий.

Пусть плоскости a, b, g имеют единственную общую точку O. В этом случае она является единственной неподвижной точкой композиции этих симметрий (предположение о существовании другой неподвижной точки приводит к предыдущему случаю). Следовательно, композиция f=Sg◦Sb◦Sa есть поворотная симметрия. Найдем ее компоненты: плоскость, ось и угол поворота. Обозначим прямые пересечения плоскостей следующим образом: bÇg=a, gÇa=b, aÇb=c (рис. 3).

Пусть f(c)=c1, тогда прямые c и c1 симметричны относительно плоскости g, и Sa(a)=a0, тогда f(a0)=a. Поскольку плоскость w поворотной симметрии f делит каждый отрезок, соединяющий соответственные точки, пополам, то ей принадлежат ортогональные проекции m и n прямых a и c соответственно на плоскости a и g. Итак, w есть плоскость, проходящая через прямые m и n. Ось l поворота есть перпендикуляр к плоскости w в точке O, угол поворота j равен углу между ортогональными проекциями a0 и a (или c и c1) на плоскость w.