Быстрый поиск

Дипломная работа: Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод

(3.83)

Отже, у разі нехтування дифузійними процесами питання про визначення концентрації речовин, що забруднюють підземні води, зводиться до розв'язання відповідної фільтраційної задачі та одного з рівнянь (3.81)-(3.83) з одною додатковою (початковою) умовою, яка задається залежно від фізично постановки задачі.

Важливою характеристикою при дослідженні процесу забруднення підземних вод є час, протягом якого в даній точці області (або області z) концентрація розчинної речовини досягає визначеної величини. Крім того, виникає питання про визначення часу, протягом якого концентрація розчинної речовини досягає в даній точці максимального значення. Основні диференціальні рівняння, з яких визначаються ці характеристики, а також фронт просування речовини (домішку) у фільтарційному потоці будуть наведені нижче.

Нехай відома концентрація розчинної в фільтраційному потоц речовини як функції координат точок області комплексного потенціала й години t . Тоді для кожного значення (моменту) часу t можна побудуввати поверхню розподілу концентрації відносно області комплексного потенціала , а отже, й відносно області фільтрац z . Цим самим для кожного моменту часу буде визначено значення концентрації речовини, що розповсюджується в підземних водах, у будь-якій точц області фільтрації або впродовж; лінії, зокрема, впродовж; будь-якої йз ліній чи течії еквіпотенціальних ліній.

Якщо ж припустити, що міграція речовини здійснюється з сталою концентрацією, то час, протягом якого станеться забруднення визначено частки області фільтрації, знайдемо таким чином. Нехай відома швидкість фільтрації v(x,y,t) і характеристична функція течії, що отримана у вигляді (3.77). Швидкість розповсюдження розчинної у фільтраційному потоц речовини U(x,y,t) у даному разі дорівнює дійсній швидкості руху підземних вод V(x,y,t), яка зв'язана зі швидкістю фільтрації v(x,y,t) співвідношенням

(3.84)

де через позначена активна пористість рунту (породи). За миттєво протікаючих сорбційних процесах, що визначаються рівністю (3.70), активна пористість замінюється ефективною пористістю середовища, що визначається рівністю

(3.85)

Із (3.84) отримуємо

(3.86)

Після перетворення рівності (3.86) до нових незалежних змінних та маємо

(3.87)

Замість рівнянь (3.81)-(3.83) зручно розглядати рівняння

(3.88)

де - безрозмірні величини, причому . До рівняння (3.88) легко звести кожне з рівнянь (3.81)-(3.83). Дійсно, якщо в рівнянні (3.88) покласти

(3.89)

то отримаємо рівняння (3.81), якщо в рівнянні (3.88) покласти

(3.90)

то отримаємо рівняння (3.82), а якщо в рівнянні (3.88) покласти

(3.91)

то отримаємо рівняння (3.83).

Якщо розглядається квазістаціонарна фільтрація (фільтраційн характеристики залежатимуть й від години за незмінного розташування ліній потоку), то конвективний масоперенос описується рівнянням

(3.92)

де залежна від дослідження переносу при профільній, плановій напорній і плановій безнапорній фільтрац визначається відповідно рівностями

(3.93)

(3.94)

(3.95)

Щоб знайти частинний розв'язок рівняння (3.88), треба задати додаткову умову при = 0 або t = 0 , тобто розлянути задачу Коші. При цьому суттєвою є фізична інтерпретація незалежних координат it. Тож під часом розв'язання конкретних задач Коші для рівняня (3.88) слід відокремлювати початково-часову та початково-просторову задачі. Перший тип завдань, як правило, виникає під час дослідження процесів очищення або розсолення підземних вод та засолених земель; другий тип завдань (початково-просторові) з'являється зазвичай під час дослідження процесів забруднення або засолення підземних вод та родючих земель.

3.6. Крайов задачі конвективної дифузії розчинених речовин при профільній фільтрації

Процес масопереносу розчинних у підземних водах речовин описується системою диференціальних рівнянь у частинних похідних іншого порядку зі змінними коефіцієнтами, яка в разі двовимірної плосковертикально (профільної) фільтрації підземних вод за умови сталості коефіцієнта конвективно дифузії має вигляд

(3.96)

(3.97)

(3.98)

де D - коефіцієнт конвективної дифузії, м3/доб; c,N - концентрації дифундуючої речовини відповідно в рідинній і твердій фазах (кг/м3 ); vx(x, y, t) , vy(x, y, t) - координати швидкості фільтрації v, м/доб; - пористість або активна пористість рунту, у якому здійснюється рух вод і конвективна дифузія розчиненої речовини; t - час, доба; -стала масообміну (швидкості сорбції); - коефіцієнт розподілу речовини між; рідинною і твердою фазами в умовах рівноваги між; рідинною і твердою фазами за законом лінійної ізотреми Генрі, який виражається рівністю cp = N , cp - рівновагова концентрація розчину, яка за величиною дорівнює кількості речовини, що поглинається твердою фазою; - потенціал швидкості фільтрації; - коефіцієнт фільтрації. м/доба; - напір, м; p- тиск, Н/м2=кг/м·c2 ; - щільність, кг/м3 ; -прискорення сили тяжіння, м/c2 .

Будемо розглядати конвективну дифузію тих розчинних речовин, які нейтральні до порід, що наявні в ґрунті, тобто сорбцією та іншими видами поглинання речовин, що забруднюють підземні води, будемо нехтувати й розглядати систему рівнянь фільтрації та конвективної дифузії (гідравлічної дисперсії):

(3.99)

(3. 100)

рис. 3.3.

Будемо вважати, що розв'язки фільтраційних завдань для кожно конкретної схеми (мал. 3.3 -3.5) відомі, а також; відомі для цих схем відповідні області комплексного потенціалу (3.6), . Знайдемо розв'язки різних крайових задач для рівняння (3.100).

3.6.1. Крайов й початкові умови для шуканої функції с(х, у, t) :

При конвективній дифузії речовин, що забруднюють підземн води, на вході АВ фільтраційного потоку (3.3,3.4) можна прийняти одну із наступних крайових умов:

а)задана концентрація розчиненої у водоймі (річці) речовини

(3. 101)

б)задана умова Данкверста, яка враховує як конвективний, так й дифузійний механізми відведення речовини на водопроникненій ділянці меж області фільтрації:

(3. 102)

рис. 3.4.

рис. 3.5.

де n - нормаль до межі; vn - нормальна складова швидкості фільтрації.

На водонепроникних ділянках межі області фільтрації z та на кривих депресії виконується умова (наприклад, ділянка BC на мал. 3.3,а-г)

(3. 103)

На ділянці виходу фільтраційного потоку (на мал. (3.4) (11.18) - водопроникнені ділянки CD) можна прийняти одну із наступних крайових умов:

а) задана концентрація дифундуючої речовини або задана умова Данкверста(такі умови приймаються, коли не спостерігається інтенсивний відвід вод на виході фільтраційного потоку)

(3. 104)

б) задана умова, яка враховує тільки конвективне перенесення через межу (приймається в разі інтенсивного відведення вод на виход фільтраційного потоку; наприклад,

рис. 3.6.

вихід у дренаж CD на мал. 3.3б-г):

(3. 105)

Умови (3.103) і (3.105) начебто рівнозначні. Алі це не так, бо ці умови треба враховувати разом із межовими умовами для рівнянь фільтрац підземних вод, які різні для водопроникнених і водонепроникних ділянок меж області фільтрації (у першому випадку vn = 0, в іншому vn 0).

При конвективній дифузії солей і гіпсів, що залягають на визначеній глибині T фільтраційного потоку, на межі із сіллю або гіпсом зазвичай приймається умова

(3. 106)

де c - концентрація повно насиченості солі або гіпсу.

Початкові умови, що приймаються при розв'язанні задач про забруднення та засолювання підземних вод, мають вигляд

(3. 107)

або

(3. 108)

де c0 - задана концентрація дифундуючо речовини в області фільтрації в момент години до настання процесу. Складність, що виникає при розв'язанні стаціонарних і нестаціонарних крайових завдань, як описують двовимірні процеси, пов'язана не тільки з виглядом рівнянь у частинних похідних й виглядом крайових умов, але головним чином, із виглядом (геометрією) області, у якій відшукується розв'язок.

Тож, у рівняннях конвективної дифузії та наведених вище крайових умовах перейдемо до нових незалежних змінних - координат област комплексного потенціалу , які, як відомо, мають вигляд многокутника зі сторонами, паралельними прямокутній системі координат.

Нехай відома характеристична функція течії

, (3.109)

яку можна знайти, наприклад, методом конформних відображень. Тоді, виконуючи в рівнянні конвективної дифузії (3.100) заміну змінних і отримаємо рівняння:

(3. 110)

де

(3. 111)

Після заміни змінних у крайових умовах через підстановку (3.109) отримуємо таке: межові умови (3.101), (3.102) набудуть вигляду відповідно

(3. 112)

(3. 113)

межову умову (3.103) перепишемо у вигляді

(3. 114)

межові умови (3.104), (3.105) набудуть вигляду відповідно

(3. 115)

(3. 116)

(3. 117)

(3. 118)

Межові умови (3.101)-(3.106) і відповідні до них умови (3.112)-(3.118) справджуються як для нестаціонарних, так і для стаціонарних крайових задач. Початкові умови (3.107), (3.108) перетворюються на умови

(3. 119)

(3. 120)

Перейдемо до розгляду завдань конвективної дифузії, розв'язання яких для різних схем фільтрації (мал. 3.5в) будемо шукати в областях комплексного потенціалу, які зображуються у вигляді прямокутників (мал. 3.5г-є).

При заданій концентрації розчинної речовини на межі з водоймами виникає така крайова задача: у прямокутнику ABCD знайти розв'язок рівняння (3.110). що задовольня межові умови

(3. 121)

(3. 122)

(3. 123)

У разі усталеної конвективної дифузії отримуємо таку крайову задачу:

(3. 124)

(3. 125)

розв'язок якої, вочевидь, не залежить від змінної і має вигляд:

(3. 126)

Якщо враховувати механізм дифузійного відводу речовини на вході фільтраційного потоку, то отримаємо крайову задачу

(3. 127)

(3. 128)

розв'язок якої можна записати у вигляді

(3. 129)

Осереднюючи величину , що є в правій частині рівняння (3.110), по області приведеного комплексного потенціала і замінюючи її деякою середньою величиною , розглянемо типи двох нестаціонарних крайових завдань.