Быстрый поиск

Дипломная работа: Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод

(3.47)

Таким чином, рівняння Лапласа є інваріантним щодо перетворень, здійснюваних аналітичними функціями комплексного змінного. Якщо ж перетворення (3.34) здійснюється довільними функціями ξ(x,y) і η(x,y), тобто не є конформним, то рівняння Лапласа (3.33) не переходить у рівняння Лапласа (3.45), а переходить у більше загальне рівняння в частинних похідних другого порядку.

Якщо вдається знайти рішення рівняння Лапласа або якого-небудь іншого рівняння математичної фізики в одній з найпростіших, так званих канонічних областей D (коло, напівплощина, прямокутник, смуга й н.), тобто якщо визначено функцію як функція координат ξ і η точок області D , то, скориставшись співвідношеннями (3.47) або (3.34), легко знайти шукане рішення , як функцію змінних x й y - координат точок вихідної фізичної області G .

При рішенні конкретних фізичних задач функції й мають певну фізичну інтерпретацію. Фізична постановка задач визначає й крайові умови для шуканих функцій. Метод конформних відображень дозволяє також у ряді випадків, а саме, коли граничн умови як для функції (x,y), так і для сполученої з нею функції ψ(x,y), мають спеціальний фізичний зміст, відшукувати рішення рівняння Лапласа безпосередньо. У цих випадках досить знайти аналітичну функцію, конформно фізичну область, що відображає, G на область D зміни фізичних параметрів (x,y) і ?(x,y) . Вид області D визначається граничними значеннями функцій (x,y) і ψ(x,y).

Для завдань плоскої фільтрації, якщо вдається конформно відобразити область фільтрації z на область комплексного потенціалу ω за допомогою деякої аналітичної функції ω = f(z), те розділивши дійсну й уявну частини функції, що відображає, знайдемо комплексний потенціали фільтрації у вигляді

(3.48)

де (x, y) - потенціал швидкості фільтрації, а ψ(x, y) - функція струму.

Крім описаної аналітичної функції - комплексного потенціалу фільтрації, у теорії профільної фільтрації розглядаються ще дві аналітичн функції: функція Жуковського G , що визначається рівністю

(3.49)

і функція Нумерова, обумовлена рівністю

(3.50)

де ε - кількість води, що надходить у рунт (ε > 0) або паркої (ε < 0) з одиниці площ горизонтальної проекції вільної поверхні за одиницю часу.

Таким чином, крайове завдання теорії плоскої сталої або фільтрації, що квазиустано-вились, полягає в тім, щоб для заданої області фільтрац Z знайти одну (або дві) з аналітичних функцій (3.48),(3.49),(3.50).

3.4.1. Спосіб Павловського

Спосіб конформного відображення Павловського застосовується у випадку, коли відома границя вихідної області фільтрації G, що будемо позначати також буквою z (тому що область фільтрації розглядається в комплексній площині z=x+ iy). і відома область комплексного потенціалу (ОКП) ω (яка будується в комплексній площині ω= +iψ). Тод характеристична функція потоку z = F(ω) або зворотна їй функція - комплексні потенціали швидкості фільтрації ω = f(z) - визначається в результаті конформного відображення області ω на область z . Область комплексного потенціалу ω, як правило, можна побудувати тільки в тому випадку, коли границя області фільтрації z складається з водонепроникних і водопроникних ділянок, тобто границя області фільтрац складається з еквіпотенциальних ліній і ліній струму. У цьому випадку проміжки височування й кривих депресій відсутні (напірна фільтрація). Тому що на еквіпотенциальних лініях = const, а на лініях струму ψ = const, то область комплексного потенціалу ω у розглянутому випадку завжди буде мати вигляд прямокутника або прямолінійного багатокутника, сторони якого паралельн осям координат.

Звичайно будують дві функції, що відображають: конформно, що відображає на область фільтрації z нижню (або верхню) так називану допоміжну напівплощину ζ = ξ + iη і конформно відображає на ОКП ω цю же допоміжну напівплощину ζ. У цьому випадку рішення завдання фільтрації, тобто комплексний потенціал швидкості фільтрації (або характеристичну функцію потоку), можна записати в параметричному виді

z = f1(ζ), ω = f2(ζ). (3.51)

Тому що ОКП - прямолінійний прямокутник, то функція ω = f(ζ) знаходиться за допомогою інтеграла Крістофеля-Шварца.

3.4.2. Спосіб Ведерникова-Павловского

У випадку, коли границя області фільтрації z містить криві депресії (так названа безнапірна або вільна фільтрація), положення яких заздалегідь невідомо, конформне відображення області фільтрації z на область ω або напівплощину ζ неможливо, хоча й у цьому випадку, як й у попередньому, область ω цілком визначена й має вигляд прямокутника або прямолінійного багатокутника. У зв'язку з результатами В. В. Ведерникова й Н. Н. Павловського, отриманими незалежно друг від друга, був запропонований спосіб, що усуває труднощі, пов'язані з невизначеністю положення кривої депресії. Скориставшись відомими для функцій (x, y) і ψ(x,y) граничними умовами на кривої депресії BjCj

(3.52)

вони замість області змінно z (область фільтрації) запропонували розглядати область так називаної функції Жуковського G, що визначається рівністю

(3.53)

або

(3.54)

Тепер можна записати граничні умови для функції Жуковського, вірніше, для її уявної частини:

уздовж границі АВ з верхньою водоймою (б'єфом)

(3.55)

χ AB на кривої депресії ВР, розташованої між k-м й (k+1)-м водоймами,

(3.56)

на границі з (k + 1) -м водоймою

(3.57)

де - наведена фільтраційна витрата в (k+1)-й водоймі; Q - повна фільтраційна витрата.

На водонепроникній ділянці A1E1, називаній водоупором, значення функцій u й v невідомі, однак можна вказати межі їхньої зміни:

(3.58)

(3.59)

З нерівності (3.59) бачимо, що лінія A1E1, що є образом водоупора в площині функції Жуковського G, укладена в горизонтальній смузі товщини H.

Таким чином, в області функції Жуковського G крив депресії перетворяться в горизонтальні прямі, інші ділянки - у невідомі лінії, причому водоупор перетвориться в деяку криву лінію, укладену в смузі товщиною H, де H дорівнює різниці оцінок води у верхній і нижній водоймах. При дуже великій глибині залягання водоупора, коли можна покласти , всі ділянки границі області функц Жуковського G будуть відомі, якщо водопроникні ділянки - вертикальні (x = xk = const). Тоді, відображаючи конформно на область функц Жуковського G, що має вид прямолінійного багатокутника, ОКП ω за допомогою функції G=F(ω) і з огляду на співвідношення (3.53), шукану характеристичну функцію плину знаходимо у вигляді

. (3.60)

Якщо ж зазначене відображення здійснюється через допоміжну напівплощину, то шукане рішення можна записати в параметричній формі

(3.61)

Викладений спосіб можна застосовувати й у тому випадку, коли водопроникні й водонепроникні ділянки не є відповідно горизонтальними й вертикальними. При цьому як вихідну область досить вибрати область функц Жуковського G, а після ОКП ω на область G за допомогою співвідношення (3.53) знайти границі області фільтрації z (напівзворотний спосіб Ведерникова-Павловського). Область G у цьому випадку вибирають так, щоб, з одного боку, її можна було порівняно легко конформно відобразити на область ω або ζ, з іншого боку - побудована для неї область фільтрації z повинна відповідати реальним умовам фільтраційного завдання.

3.5. Конформн перетворення й моделювання масо переносу

Процес міграції розчинних речовин при фільтрації підземних вод, як відомо, описується системою рівнянь:

(3.62)

; (3.63)

(3.64)

або в скалярній формі

(3.65)

(3.66)

(3.67)

де v = {vx,vy,vz} - вектор швидкості фільтрації, м/доб; (x,y,z,t) - потенціал фільтрації; c(x, y, z, t) і N(x, y, z, t) - концентрація дифундуючої речовини відповідно в рідинній і твердій фазах, г/см , D - коефіцієнт конвективної дифузії, м3/доб; σ - активна (або ефективна) пористість середовища, у якому протікає фільтрація розчину; t - година (у добах); - оператор Гамільтона; γ - стала швидкості масообміну; β - коефіцієнт розподілу речовини між; фазами в умовах рівноваги по лінійній ізтермі Генрі cp = βN. У багатьох практичних завданнях можна обмежитися дослідженням процесу масопереносу розчинних у фільтраційному потоці речовин тільки на основ рівнянь, що описують конвективний процес, а саме:

(3.68)

(3.69)

причому масообмін визначається такою досить розповсюдженою залежністю:

(3.70)

де - концентрація граничної насиченості.

Наведені рівняння описують, як правило, міграцію й фізичну трансформацію (сорбцію, десорбцію) консервативних водорозчинних речовин.

Якщо дослідити масоперенос при плоско-вертикальній і плановій усталеній або квазіусталеній фільтрації підземних вод, то для моделювання цього процеса доцільно застосувати конформне перетворення рівнянь масопереноса до криволінійних змінних - координатам точок області комплексного потенціала фільтрації.

У разі плоско-вертикальної (профільної) фільтрації рівняння рухові підземних вод запишуться у вигляді

(3.71)

де χ - коефіцієнт фільтрації, h - напір, який визначається рівністю

(3.72)

причому вісь Oy спрямовано вертикально вниз, p - тиск, ρ - щільність, g - прискорення сили тяжіння.

У разі планової напорної фільтрації відповідні рівняння записуються так:

Φ = -χTh;

(3.73)

а в разі планової безнапорної фільтрації

(3.74)

У рівняннях (3.73), (3.74) через T позначено потужність напірного водоносного шару: q - вектор питомої фільтраційно витрати (м2/доб), a h - напір, який у даному випадку визначається таким рівнянням:

(3.75)

де Z - вертикальна координата точки фільтраційного потоку.

Припущення, що для фільтраційних течій, що розглядаються, можна побудувати область комплексного потенціала ω = + iψ , де ψ - функція течії, і що відома характеристична функція течії

z = x + iy = F(ω) = F1( , ψ) + i2( ,ψ), (3.76)

за допомогою заміни

x = F1( ,ψ); y = F2( ,ψ) (3.77)

перетворимо рівняння конвективної дифузії до нових незалежних змінних і ψ. У результаті тако заміни рівняння конвективної дифузії в разі плоско-вертикальної фільтрац запишеться у вигляді

(3.78)

у разі планової напорної фільтрації - у такому вигляді:

(3.79)

а в разі планової безнапорної фільтрації перетворюється до вигляду

(3.80)

Якщо в рівняннях (3.78)-(3.80) D = 0, отримаємо рівняння конвективного масопереносу без враховування дифузійних процесів, що перетворені до нових змінних , ψ або Φ, Ψ або Φ*, Ψ* відповідно для випадків плоско-вертикальної, планової напорної і планової безнапорної фільтрації, а саме: