Дипломная работа: Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод

При такому формулюванні задача визначення швидкості потоку u турбулентного руху b(z) може бути вирішена послідовно. Спочатку знаходимо рішення крайової задачі.

Задача Штурма-Ліувілля, що відповідає крайовій задачі, може бути записана в наступному виді

                                       (2.45)

Ця задача еквівалентна задачі

                              (2.46)

Шукаємо розв’язання задачі у вигляді

                               (2.47)

З урахуванням крайової умови маємо

                                                       (2.48)

Для визначення власних значень , що відповідають цим власним функціям, задовольнимо граничну умову на правій границі . Маємо

Позначимо

Тоді рішення лінійної частини задачі про визначення швидкост потоку може бути записане у вигляді

                                (2.49)

Запишемо тепер рівняння відносно b(z) з урахуванням отриманого виразу для швидкості потоку u(z) .

          (2.50)

З урахуванням отриманого виразу для швидкості потоку

                          (2.52)

Завдання Штурма-Ліувілля має вигляд

                 (2.53)

                     (2.54)

Рішення шукаємо у вигляді

Із граничної умови  знаходимо

                                               (2.55)

Із другої граничної умови знаходимо власні значення задачі

У такий спосіб.

                (2.56)

3. Прогнозування якості підземних вод

3.1.     Основн фізичні закони фільтрації підземних вод

Під фільтрацією мають на увазі повільний рух (просочування) рідини чи газу, розчину або газованої рідини в пористому або тріщинуватому середовищі. Надалі мова йтиме про фільтрацію води або слабких розчинів у рунтах і породах.

Обсяг ґрунту W складається з обсягу W4 часток рунту й обсягу порожнеч Wn. Співвідношення між обсягом, займаним кістяком ґрунту й обсягом його порожнеч характеризується параметром , називаним коефіцієнтом пористост або просто пористістю ґрунту. Цей параметр визначається відношенням

                    (3.1)

Поперечний розмір окремих пор коливається від часток мікрона до декількох сантиметрів. Частина води звичайно постійно втримується ґрунтом за допомогою молекулярних сил (капілярна й плівкова вода), а частина переміщається під дією сил ваги (гравітаційна або ґрунтова вода). Тому іншою важливою характеристикою ґрунту є параметр , що визначається відношенням

,                         (3.2)

де Wгв - обсяг, що заповнює гравітаційна вода, здатна випливати або втікати в даний обсяг W ґрунту під дією сил ваги. Цей параметр називається коефіцієнтом водовіддачі або недостачею насичення (іноді активною пористістю). Активна пористість  трохи менше пористості , але іноді через малу різницю між цими параметрами для проведення розрахунків користуються тільки коефіцієнтом пористості .

Будемо розглядати такий ґрунт, у якому всі порожнечі повністю заповнені рідиною (водою або розчином). У такому водонасиченому ґрунті за певних умов здійснюється рух води під дією сил ваги, тобто спостерігається фільтрація. Переміщення води в не повністю насиченому ґрунті розглядати не будемо. Крім того, будемо розглядати тільки рух води або слабких водяних розчинів, приймаючи їх за ідеально нестисливу рідину.

Просочування води через границю сухого або водоненасиченого рунту в розглянутий обсяг водонасиченого ґрунту називається інфільтрацією. Зворотний рух води може спостерігатися за рахунок випару, транспірації, капілярного підняття. Інфільтрація або випар (транспірація) характеризуються кількістю рідини , що надходить через одиничну горизонтальну площадку за одиницю часу. Величина  називається питомою інтенсивністю інфільтрації або випару (транспірації).

Простір водонасиченого ґрунту або породи, у якому відбувається рух підземних вод під дією сил ваги, називається областю фільтрації підземних вод, а потік води, що охоплює цю область, називають фільтраційним або підземним потоком. Ґрунт, склад і властивості якого однаков у всіх рівні по обсязі частинах області фільтрації, називається однорідним. Якщо ж властивості ґрунту проявляються однаково у всіх напрямках простору, то такий ґрунт (пористе середовище) називається ізотропним, у противному випадку - анізотропним.

Ґрунт, склад і властивості якого однакові у всіх рівні по обсязі частинах області фільтрації, називається однорідним. Якщо властивост рунту проявляються однаково у всіх напрямках простору, то такий ґрунт (або пористе середовище) називається ізотропним, у противному випадку його називають анізотропним.

Рух води або іншої рідини в пористому середовищі залежить від структур ґрунту, форми пор і тріщин. Однак для практичних цілей становить нтерес, як рухається осереднений по величині й напрямку підземний водний потік. Тому на практиці використають тільки осереднені характеристики фільтраційного потоку. Для математичного опису процесу фільтрації реальний потік рідини заміняється деяким фіктивним фільтраційним потоком, що безупинно заповнює всі перетини пористого середовища. При цьому приймається, що витрата, обумовлена кількістю рідини, що протікає через будь-яку одиничну площадку розглянутого перетину за одиницю часу у фіктивному потоці, дорівнює витрат реального фільтраційного потоку. Крім того, для фіктивного потоку тиск на обрану площадку дорівнює тиску реального потоку на ту ж площадку, а сили опору, розглянуті як масові (об'ємні) сили, для фіктивного потоку у виділеному обсяз повинні рівнятися реальним силам для того ж обсягу.

Таким чином, замість реального фільтраційного потоку розглядається деяка фізична модель цього потоку, при цьому основні, що цікавлять дослідника характеристики фіктивного (модельного) потоку або збігаються з відповідними характеристиками реального потоку, або по характеристиках фіктивного потоку можна визначити характеристики, що цікавлять, реального потоку. Це, зокрема, стосується визначення середнього значення правдивої швидкості руху часток рідини. Тому для визначення середньої швидкост руху часток рідини в пористому середовищі вводиться статистичне поняття швидкості фільтрації. Нехай через площу ∆S за одиницю часу (добу) протікає ∆Q об'ємних одиниць рідини. Тоді середнє значення швидкості фільтрації визначиться рівністю

,                                          (3.3)

а швидкість фільтрації v у розглянутій точц визначиться як межа, до якого прагне середня швидкість фільтрації при зменшенн площадки, тобто

.

У дійсності площа ∆S у нуль не перетворюється, а мається на увазі її зменшення до досить малої по площі величини, однак значно більшої, ніж площа середнього перетину пори або тріщини. Якщо тепер використати поняття коефіцієнта пористості, то середня швидкість руху води через пори, площа яких дорівнює ∆Sп, визначиться наступною рівністю.

.                                       (3.4.)

Аналогічно швидкість v руху рідини в точці

 ,                                                (3.5)

Якщо ввести вектор швидкості фільтрації V = (Vx,Vy,Vz) і вектор швидкості руху рідини v = (vx,vy,vz) , то

                                 (3.6)

 

3.1.1.  Закон Дарсі

Закон Дарсі - основний закон, якому підкоряється рух рідини в пористому середовищі. Французьким інженером Дарсі в 1856 р. експериментально було встановлено, що швидкість фільтрації пропорційна градієнту напору й спрямована убік його зменшення. Якщо ввести поняття напору, що у теор фільтрації визначається рівністю

                                         (3.7)

де p - тиск, ρ щільність рідини, g - прискорення сили ваги, z - геометрична висота над деякою горизонтальною площиною (віссю) порівняння, γ = ρq - питома вага, p/(ρg) - п’єзометричний напір (рівень води в п’єзометрі), тобто у вертикальній трубці, установленої нижнім кінцем у крапці, де виміряється напір (мал. 3.1); то закон Дарсі можна записати у вигляді

рис. 3.1.

                                  (3.8)

де ∆h = h2 - h1 - зміна напору на ділянці фільтраційного потоку довжиною ∆L; χ - коефіцієнт пропорційності, називаний коефіцієнтом фільтрації, що має розмірність швидкост фільтрації v; J=∆h/∆L - градієнт напору. У диференціальній формі закон Дарсі був отриманий Н. Е. Жуковським і зазвичай записується у вигляді

.                                              (3.9)

У скалярній формі закон Дарсі записується у вигляді

                             (3.10)

До рівняння (3.9) варто ще додати рівняння нерозривност фільтраційного потоку, що виражає закон збереження маси речовини й для недеформуємого середовища й нестисливої рідини (ρ = const) ма такий вигляд

.                                 (3.11)

Рівняння (3.10), (3.11) з невідомими функціями vx,vy,vz й h утворять повну систему диференціальних рівнянь сталої фільтрац важкої нестисливої рідини. Ця система рівнянь може описувати й несталу або квазівстановлену фільтрацію.

Якщо в рівняння нерозривності замість складових vx, vy, vz підставити їх вирази, обумовлені рівностями (3.10), то у випадку однорідного середовища (χ = const) одержимо диференціальне рівняння для невідомого напору

.                                         (3.12)

яке називається рівнянням Лапласа.

Надалі буде розглядатися тільки плоско-паралельний рух рідини, що може відбуватися або у вертикальній площині (профільна фільтрація), або в горизонтальній площині (планова фільтрація).

3.2.     Постановка крайових завдань плоскої фільтрації

Зупинимося на основних рівняннях і постановці крайових задач плоскої (профільної) сталої фільтрації підземних вод в однорідному ізотропному рунті. Якщо в якості вертикальної координатної площини вибрати систему координат xOy, причому вісь Oy направити вертикально вниз, то рівняння фільтрації запишеться у вигляді

      (3.13)

Із цих рівнянь маємо

.                    (3.14)

З огляду на те, що для однорідного ґрунту χ = const, і ввівши функцію

                (3.15)

яка називається потенціалом швидкості фільтрації, рівняння (3.13) перетвориться до вигляду

                           (3.16)

а рівняння (3.14) перетвориться до вигляду

                                (3.17)

Відшукавши потенціал , легко обчислити напір h(x,y) і складову швидкості фільтрації.

Щоб визначити гармонійну функцію , тобто функцію, що задовольняє в області фільтрації G рівняння Лапласа, необхідно вирішити це рівняння при додаткових умовах, які виконуються для шуканої функції на границі області.

Розглянемо вертикальний поперечний розріз земляної греблі або дамби (мал. 3.2).

рис. 3.2.

Область фільтрації G обмежена контуром ADCDEE1A1, що складається з окремих, характерних для границі област фільтрації, ділянок. Вісь Ox сполучена з поверхнею води в тій водоймі, рівень води якого перебуває вище (у розглянутому випадку ця водойма перебува ліворуч, його змочений контур AB). У результаті наявності різниц рівнів води в "лівому" й "правому" водоймах, величина яко дорівнює H (H - дійсний напір), відбувається повільне просочування води через існуючий вододіл (область фільтрації) з першої водойми в другий. Ділянки границі області фільтрації, де відбувається надходження води з водойми в область фільтрації (ділянка AB) або з області фільтрації у водойму (ділянка DE), називаються водопроникними границями област фільтрації. Ділянки, де височується вода на поверхню ґрунту й стікає по поверхні ґрунту вниз або випаровується, називаються проміжками височування (ділянка CD). Ділянка границі між водоненасиченим й водонасиченим рунтом називається кривою депресії або депресивною кривою (ділянка BC). Якщо границя області є водонепроникною (або слабопроникною), то такі ділянки називаються водонепроникними (ділянку A1E1) або водоупором.

Установимо граничні умови на цих ділянках для потенціалу (x,y). Помітимо, що граничн умови, як і самі рівняння фільтрації, виводяться з фізичних законів або умов, які виконуються на границі області, у якій досліджується розглянутий процес руху підземних вод.

Розглянемо на водонепроникній ділянці AB довільну точку M(x,y), де п’єзометричний напір p/γ дорівнює висоті стовпа води над точкою M, тобто дорівнює ординаті y точки M . З огляду на співвідношення (3.15), у цій точці водонепроникної ділянки, а отже, і на всій водонепроникній ділянці AB , маємо

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9