Быстрый поиск

Дипломная работа: Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод

(1.144)

(1. 145)

(1. 146)

Рішення крайового завдання (1.144)-(1.146) шукаємо у вигляді

(1. 147)

де функція є рішенням наступно крайової задачі.

(1. 148)

(1. 149)

(1. 150)

Легко помітити, що крайова задача (1.148)-(1.150) еквівалентна наступній:

(1. 151)

(1. 152)

Розклавши функцію в ряд Фур'є

(1. 153)

де коефіцієнти Bm(t*) визначаються рівністю

(1. 154)

а власні значення λm визначаються з рівняння

(1. 155)

рішення крайової задачі (1.151)-(1.152) будемо шукати у вигляді

. (1.156)

Підставивши (1.153) і (1.156) у рівняння (1.151) порівнюючи коефіцієнти при . одержимо рівняння

(1. 157)

(1. 158)

З початкової умови маємо

(1. 159)

Вирішивши задачу Коші (1.157)-(1.158), знайдемо коефіцієнти Am(t*) у такому вигляді

(1. 160)

Таким чином, розв’язання крайової задачі (1.144)-(1.146) запишеться у вигляді

. (1.161)

На закінчення необхідно відзначити, що всі наведені в даній роботі рішення крайових задач конвективної дифузії, за допомогою яких моделюються процеси забруднення, засолення, самоочищення (або промивання) підземних і поверхневих вод, легко застосовуються до більш простих підземних потоків, коли область фільтрації є прямокутною або близькою до прямокутного. У цьому випадку в рівняннях конвективної дифузії недоцільно переходити до нових змінних й .

1.2. Методи прогнозування (водойми)

Наведені нижче рівняння регресії розроблені для прогнозування поширення забруднюючих речовин по поверхні водойм від місця їхнього скидання за рахунок процесів конвективної дифузії. При цьому використалися п'ятирічн спостереження на озері Байкал в умовах дії одного зосередженого джерела забруднення.

а) модель розподілу зважених речовин:

(1. 162)

де - нормоване щодо середнього значення концентрації в k-й точці в наступний момент часу - близькі в просторі й часі змінн при ∆τ = 1 рік.

б)модель розподілу розчинених мінеральних речовин:

(1. 163)

Оперативне прогнозування. Виконується на час добігання забруднюючої речовини від джерела надходження стічних вод до обраного контрольного отвору.

Алгоритми імітаційної системи. У всіх рівняннях витрати виражаються в м/с, довжина в м, концентрація - г/л, площа - м , швидкість - м/с, коефіцієнти швидкості самоочищення - 1/сут.

1. Розрахунок значення коефіцієнта Шези (α) :

(у літню пору):

2. Розрахунок коефіцієнта, що враховує поперечну циркуляцію в потоці і його кінематичній неоднорідності (β) :

при , при .

3. Розрахунок коефіцієнтів, що характеризують міру розведення стічних вод :

при ,

, де И,Н,Л,Г,Е,Ж,З;

при .

2[Ф(Г)-Ф(Е)-Ф(Ж)+Ф(З)] при при

при .

2. Рішення крайових задач (лінійних) математичної фізики

Розглянемо наступне рівняння енергії

(2.1)

З урахуванням заміни T = Tm - T0 початкова умова для рівняння (2.1) здобуває вигляд

(2.2)

Граничні умови для рівняння (2.1) сформулюємо з урахуванням теплообміну між досліджуваною зоною нагрівання й навколишнім середовищем.

(2.3)

Очевидно, що подібні умови повинні виконуватися й щодо ширини зони нагрівання (0 ≤ y ≤ Ly):

(2.4)

(2.5)

Уздовж координати x (у напрямку вітру) у точці x = 0 температура середовища й температура початку зони нагрівання повинні збігатися T(0, y, z, t) = 0. У площині x = Lx T(Lx,y, z, t) = T1(Lx,y, z, t) - температура загоряння речовин. Розглянемо крайову задачу

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Для зведення цієї задачі до стандартної задачі на власн значення й функції, введемо заміну змінних

(2.9)

Тоді

(2.10)

Підстановка цих виразів у рівняння (2.6) приводить до самоспряженого рівняння

(2.11)

з однорідними граничними умовами, що відповідають умовам

(2.12)

(2.13)

Ця задача еквівалентне задачі на власні значення

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Тоді

(2.17)

Невідомі параметри C1 й C2 визначаються із граничних умов.

Константа C1 визначається як норма власно функції v(x) :

Власні значення знаходимо з умови (2.16):

Таким чином,

(2.18)

(2.19)

Перейдемо тепер до рішення задачі (2.1)-(2.5). Уведемо заміну

(2.20)

Після підстановки цих виразів у рівняння (2.1) і граничн умови одержуємо наступну крайову задачу.

(2.21)

Початкова умова

(2.22)

Граничні умови:

(2.23)

(2.24)

(2.25)

Застосуємо інтегральне перетворення по змінній x до рівняння (2.21).

Власні значення λx і власні функції X(x, λx) знайдемо як рішення відповідної задачі Штурма-Ліувілля

з граничними умовами

Позначимо . Тоді

. (2.26)

Рівняння (2.21) здобуває вигляд:

(2.27)

Обчисливши інтеграли в цьому рівнянні, одержуємо:

Тут для простоти ми розглядаємо джерела загоряння у вигляд "точкових" джерел - площадок малого розміру , розташованих на розглянутій поверхн випадковим образом з інтенсивностями qm.