Быстрый поиск

Дипломная работа: Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод

(1.94)

названою зазвичай характеристичною функцією течії ( - функція потоку). Доцільно перетворити рівняння конвективної дифузії (1.93) за допомогою заміни (1.94) до нових незалежних змінних й . При такому конформному перетворенн варто враховувати прийняте припущення про залежність коефіцієнта конвективно дифузії Dy від швидкості фільтрації v. Крім того, варто взяти до уваги, що величина коефіцієнта конвективної дифузії Dy залежить не тільки від величини швидкості фільтрації, але й від її напрямку як тензор, і при рішенні крайових завдань конвективної дифузії, як правило, швидкість фільтрації осереднюється або по всій області комплексного потенціалу, або по одній з координат точок цієї області.

У зв'язку із цим доцільно робити осереднення коефіцієнта конвективної дифузії в новій системі координат окремо уздовж еквіпотенциальних ліній й уздовж лінії струму. Тим самим уводиться поняття коефіцієнта поперечно конвективної дифузії D і коефіцієнта поздовжньо конвективної дифузії D . Таким чином, у результат перетворення рівняння (1.93) до нових змінних одержимо

(1.95)

Якщо ввести безрозмірні величини

то рівняння (1.95) запишеться у вигляді

(1.96)

де H - діючий напір.

Одержання рішення при осереднені швидкості фільтрації.

При вивченні процесів міграції промислових або побутових стічних вод, що скидають у водойму, а також при розрахунку виносу ядохімікатів або добрив із сільськогосподарських угідь, розглянутих у вигляді смуги певно ширини, виникає необхідність визначення якісного складу підземних вод, ступеня хнього забруднення або мінералізації. Рішення всіх цих важливих питань зводиться до розгляду відповідних крайових завдань фільтрації й конвективно дифузії, фільтраційні задачі для яких розглянуті вище.

Будемо вирішувати крайову задачу конвективної дифузії при осереднені швидкості фільтрації по всій області комплексного потенціалу , потім розглянемо випадок осереднення швидкості фільтрації по одній з координат області комплексного потенціалу або . Опускаючи риски над безрозмірними величинами в рівнянні (1.96), в області шукаємо рішення рівняння

(1.97)

де

при наступних граничних і початкових умовах:

(1.98)

(1.99)

причому через c1 позначена концентрація речовини у водоймі АВ, а через c0 - концентрація речовини в підземних водах у початковий момент часу t0 = 0 . Рішення крайової задачі (1.97)-(1.99) будемо шукати у вигляді

(1. 100)

де функція знаходиться як рішення стаціонарної задачі

(1. 101)

(1. 102)

а функція знаходиться в результат рішення нестаціонарної крайової задачі

(1. 103)

(1. 104)

(1. 105)

Функція, що задовольняє рівнянню (1.101) і граничним умовам (1.102), не залежить від змінної ψ, а крайова задача (1.101),(1.102) еквівалентна наступній:

(1. 106)

Вирішивши крайову задачу, знайдемо

(1. 107)

де

Розглянемо тепер задачу

(1. 108)

Загальна схема методу Фур'є. Рішення крайової задачі шукаємо у вигляді . Підставивши це рішення в (1.108), одержимо:

(1. 109)

Із цієї рівності, з огляду на граничні умови, приходимо до задачі на власні значення

(1. 110)

Загальне рішення цього рівняння має вигляд

(1. 111)

Використовуючи граничні умови, одержимо рівняння для визначення всіх власних значень задачі.

з якого після перетворення й введення величини одержуємо рівняння для визначення всіх власних значень

(1. 112)

Шукані власні функції запишуться у вигляді

(1. 113)

Тоді

. (1.114)

З рівності (1.109) для кожного λm одержуємо рівняння

(1. 115)

рішення якого має вигляд

(1. 116)

З огляду на (1.113) і (1.116), записуємо часткові рішення вихідного крайової задачі у вигляді

(1. 117)

а шукане рішення крайової задачі (1.105), (1.106) у силу узагальненого принципу суперпозиції запишеться у вигляді

(1. 118)

Використовуючи початкові умови, знаходимо коефіцієнти у вигляді

(1. 119)

де r1, r2 визначаються рівностями (1.104), а µ1 = 1/(2D1) .

Таким чином, рішення вихідної крайової задачі (1.97)-(1.99) у випадку осереднення швидкості фільтрації по всій області комплексного потенціалу ω не залежить від ψ і має такий вигляд:

(1. 120)

Якщо у виразах (1.119),(1.120) покласти γ* = 0, c* = 0, r1 = 0 , r2 = =1/D1= 2µ1 = 2µ, то одержимо рішення задачі про забруднення підземних вод без обліку масообміну, розглянуте раніше, а саме:

(1. 121)

де

(1. 122)

Моделювання процесу очищення (промивання) засолених земель

Нехай промивання засолених земель відбувається в результат поливу прісною водою поверхні ґрунту й відводу вод за допомогою одиночної дрени або за допомогою системи дрен. У цьому випадку для кожної з фільтраційних схем, що зустрічаються, область комплексного потенціалу зображується у вигляді прямокутника.. Тому питання вивчення процесу промивання підземного середовища зводиться до рішення в прямокутнику ABCD наступної крайової задачі.

(1.123)

(1. 124)

Бачимо, що ця крайова задача збігається із крайовою задачею (1.97)-(1.99), якщо покласти c1 = 0 , c0 = cн, а отже, рішення задачі (1.123) -(1.124) виходить із рішення (1.122), якщо c1 = 0 , c0 = cн.

Конвективная дифузія у випадку планової фільтрації

Розглянемо такі схеми руху підземних вод, коли виконуються відомі передумови гідравлічної теорії фільтрації. Тоді у випадку сталої або квазіустановленої планової фільтрації рівняння руху підземних вод запишуться у вигляді

(1. 125)

а у випадку планової безнапірної фільтрації - у вигляді

(1. 126)

де T - потужність напірного водоносно шару, q - вектор питомої фільтраційної витрати (м2/сут), a h - напір, що у випадку, коли вісь апплікат спрямована вертикально вниз, визначається рівністю

(1. 127)

Припускаючи, що для кожного із плинів відома область комплексного потенціалу ω і функція, що відображає (1.94)

(1. 128)

перетворимо тривимірне рівняння конвективної дифузії, що у розглянутих випадках має вигляд

(1. 129)

до нових змінних за допомогою підстановки

(1. 130)

Тоді у випадку планової напірної фільтрації рівняння конвективної дифузії перетвориться до виду

(1. 131)

а у випадку планової безнапірної фільтрації до такому виду

(1. 132)

При осереднені величини по області комплексного потенціалу ω питання про дослідження міграції водорозчинних речовин зводиться до відшукання в прямокутному паралелепіпеді ωЧT (або ω Ч hcp) рішення наступної крайової задачі.

(1. 133)

(1. 134)

(1. 135)

(1. 136)

Крайова задача (1.133) (1.136) еквівалентна крайовій задач типу (1.97)-(1.99), а тому її рішення, що не залежить від ψ від Z , запишеться у вигляді (1.120). При цьому варто врахувати, що замість безрозмірних величин (1.98) варто ввести безрозмірні величини, які визначаються ншими рівностями окремо для випадку напірної й безнапірної планово фільтарції. Якщо ж розглядається процес засолення підземних вод, що відбувається в результаті дифузії залягаючих на глибині T* солей, то замість крайових умов (1.136) необхідно взяти наступні:

(1. 137)

Рішення крайової задачі (1.133)-(1.135), (1.136) можна одержати тільки за допомогою чисельних методів, а у випадку, коли величина питомої фільтраційної витрати осереднюеться тільки по одній зі змінних або ψ, рішення відповідних крайових задача можна знайти за допомогою методу Фур'є в сполученн з варіаційними методами.

1.1.4. Моделювання процесів забруднення підземних вод з урахуванням якості поверхневих вод

При проектирвании й експлуатації басейнів стічних вод різного призначення (ставків - відстійників, ставків - накопичувачів, ставків - охолоджувачів, хвосто - і шламосховищ) виникає необхідність обліку впливу розчинних речовин, що втримуються в них (домішок) на якість підземних вод й якість води в ріках, каналах, водоймищах, водозаборах, які розташовані в зон впливу цих джерел забруднення.

Нехай у басейні стічних вод, що має початковий обсяг води Q0 з концентрацією домішки, що втримується в ній, надходять стічні води від n різних підприємств із добовими витратами й з концентраціями даної домішки в них відповідно, причому з поверхні басейну випаровується /сут. води. Тоді, якщо через позначимо повну фільтраційну витрату води з басейну, то концентрацію домішки, що втримується в басейні в кожен момент часу можна визначити по формулі

(1.138)

де

(1. 139)

Параметр α характеризує седиментацію або трансформацію речовини у водоймі й визначається дослідним шляхом за результатами натурних спостережень. Вираз (1.138) надалі буде прийнятий як гранична умова на вході фільтраційного потоку.

Припустимо, що відомо характеристичну функцію потоку z = F(ω), де z = x + iy - точка області фільтрації, aω- точка області комплексного потенціалу ω = + iψ, або припустимо, що побудовано гідродинамічну сітку фільтрації. Тоді дослідження процесу забруднення підземних вод при плоско-вертикальній фільтрації зводиться до рішення в області наступного рівняння.

(1. 140)

де безрозмірні величини визначаються рівностями

(1. 141)

де - потенціал, χ - коефіцієнт фільтрації, h - напір, v - швидкість фільтрації, H - діючий напір, σ - пористість.

У випадку планової напірної фільтрації дослідження процесу зводиться до вирішення такого рівняння:

(1. 142)

де

(1. 143)

причому через позначений модуль вектора питомо фільтраційної витрати, Z - вертикальна координата, - напір, T - потужність водоносного шару, .

Середня швидкість фільтрації v (або питома фільтраційна витрата) і з огляду на рівність (1.138), вивчення процесу забруднення підземних вод при двовимірній фільтрації (плоско-паралельної або планової) зводимо до відшукання в прямокутнику , вирішення наступної крайової задач (тут і надалі риски над безрозмірними величинами опустимо):