Дипломная работа: Максимальные факторизации симплектических групп

Предложение  Примитивная группа подстановок  множества  проста, если выполнены следующие условия:

1) ,

2) для некоторого  стабилизатор  содержит такую нормальную абелеву подгруппу , что  порождается подгруппами , .

Для доказательства теоремы (??) с использованием этого результата рассмотрим  как группу подстановок множества прямых  пространства . Это возможно ввиду того, что , будучи подгруппой группы проективностей пространства , точно действует на  и, значит,  естественно изоморфна группе подстановок множества . Мы знаем, что группа  транзитивна (теорема Витта),  (см. (??)) и, наконец, множество проективных трансвекций из  с вычетной прямой  вместе с тождественным преобразованием образует нормальную абелеву подгруппу стабилизатора прямой  в , которая вместе со своими сопряженными в  порождает группу . Поэтому все, что осталось сделать, прежде чем сослаться на (??), - это проверить, что группа  примитивна.

Предложение  При  группа  подстановок множества  прямых пространства  примитивна.

Доказательство. 1) Рассмотрим разбиение  множества , содержащее по крайней мере два подмножества, одно из которых, скажем , содержит не менее двух прямых. Нам нужно найти элемент группы , не сохраняющий это разбиение. Допустим, что такого элемента не существует.

2) Пусть сначала  содержит две различные не ортогональные прямые , . Тогда каждые две различные прямые ,  из  должны быть не ортогональны. В самом деле, если это не так, то найдутся различные ,  из , такие, что . Возьмем прямую  из , не принадлежащую подмножеству . Если , то по теореме Витта существует такое преобразование  из , что , , и, следовательно, оно нарушает разбиение. Если , то снова по теореме Витта имеется такое , что ,  и, значит,  опять нарушает разбиение. Итак, никакие две различные прямые из  не является ортогональными. Только что проведенные рассуждения показывают, что если  - произвольная прямая из , то  содержит все прямые из , не ортогональные к . Теперь очевидно, что можно найти в  прямую , не ортогональную к , но ортогональную к  тогда первое условие влечет за собой, что , а второе - что , - противоречие.

3) Мы можем, таким образом, считать, что все прямые из  попарно ортогональны. Рассуждения, использованные в п. 2), показывают тогда, что если  - произвольная прямая из , то  содержит все прямые, ортогональные к , а это невозможно. Предложение доказано.

Основные результаты

Пусть  - конечная группа,  и  - подгруппы группы . Будем говорить, что группа  допускает факторизацию , если для всякого  имеет место равенство , где , . Факторизация называется максимальной, если  и  максимальные подгруппы в группе . Мы рассмотрим максимальные факторизации симплектической группы , определенной над конечным полем .

Пусть  и  - целые числа, , . Если  - простое число, делящее  и не делящее числа  для , то  называют примитивным простым делителем числа .

Хорошо известно, что при ,  и  всегда есть примитивный простой делитель числа . Пусть , где  - простое число,  - целое положительное число. Обозначим  наибольший примитивный простой делитель числа  (так, что  делит  и не делит  для ). Определим  как произведение всех примитивных простых делителей . Мы будем рассматривать максимальные факторизации группы . Отметим, что

Теорема Пусть , где  - нечетное число. Если , где  и  - максимальные подгруппы группы , тогда , где  - максимальная параболическая подгруппа группы , изоморфная  и имеющая порядок

Доказательство. Предположим, что  делит . Из [??] следует, что  является одной из следующих групп , ,  или . Пусть сначала . В этом случае . Из [??] следует, что  это в точности максимальная параболическая подгруппа группы   и . Из сравнения порядков группы  и произведения  получаем следующую максимальную факторизацию:

Пусть теперь  является одной из следующих групп ,  или . Из сказанного выше следует, что  не изоморфна . Из пункта 2.4 [??] получим, что  есть  или . По теореме 2.4D [??]  есть 3 или 7. Если , тогда 5 делит . В этом случае из [??] следует, что  одна из групп , , . Поскольку , то  делит . Однако  не делится на . Противоречие с тем, что . Следовательно,  и . Так как 27 делит , то  является параболической подгруппой группы  и имеет место факторизация:

Теорема (??) доказана.

Пусть , где  - положительное число. Тогда ортогональная группа  и .  обозначает сплетение группы  с группой , т.е. , где . Очевидно, что ;  - максимальная параболическая подгруппа в  порядка ;  - группа Судзуки порядка , где .

Лемма  Пусть . Тогда

Доказательство. Из [??] следует, что  является максимальной подгруппой в . Пусть  и . Обозначим

где  матрица в каноническом базисе симплектического пространства , , , . Тогда  - диэдральная группа, которая фиксирует разложение:

Из [??] следует, что стабилизатор этого разложения ,  и

Лемма доказана.

В приведенных обозначениях с учетом таблицы 1 [??] и леммы (??) получим:

Теорема  Пусть , где . Если , где  и  - максимальные подгруппы в группе . Тогда

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

Заключение

В дипломной работе найдены максимальные факторизации симплектических групп . Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть , где  - нечетное число. Если , где  и  - максимальные подгруппы группы , тогда , где  - максимальная параболическая подгруппа группы , изоморфная  и имеющая порядок

Теорема 2. Пусть , где . Если , где  и  - максимальные подгруппы в группе . Тогда

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

Список использованных источников

[1] Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов, Гомель: Гомельский государственный университет им. Ф.Скорины, 2003. - 320 с.

[2] Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И., Основы теории групп, М., 1982.

[3] Холл Ф., Теория групп, М., 1962.

[4] Горенстейн Д., Конечные простые группы: введение в их классификацию., М., 1985.

[5] Казарин Л.С., Факторизации конечных групп разрешимыми подгруппами //Укр. мат. журн. 1991. Т. 43, N 7 -- 8. С. 947 -- 950.

[6] Mitchel H.H., Determination of the finite quaternary linear groups. Trans. Amer. Math. Soc. V. 14, 1913. p.123--142.

[7] Liebek M.W., Praeqer C.E., Saxl J., The maximal factorizations of the finite simple groups and their automorphism groups. Mem. Amer. Math. Soc. V. 86, N. 432. p. 1--151.

[8] Suzuki M., A new type of simple groups of finite order. Proc. Nat. Acad. Sci. US 46, 1960. p. 868--870.