Быстрый поиск

Дипломная работа: Максимальные факторизации симплектических групп

Важным является случай, когда , для всех и для всех ; тогда

Если дано еще одно такое представление , то

Рассмотрим знакопеременное пространство над полем . Под ортогональным дополнением подпространства пространства в понимается подпространство

совпадающее также с

Определим радикал пространства как подпространство . Очевидно,

Предложение Пусть - знакопеременное пространство, являющееся суммой попарно ортогональных подпространств, т. е. , где при . Тогда

регулярно каждое регулярно,

регулярно .

Доказательство. (1) Возьмем в произвольный элемент и запишем его в виде , . Тогда

так что , откуда . Обратно, если , где , то

откуда .

(2) Это следует из (1) и того, что знакопеременное пространство регулярно тогда и только тогда, когда его радикал равен .

(3) Если , , то

откуда . Следовательно, и, значит, .

Предложение Если - подпространство знакопеременного пространства , то - аннулятор пространства в , т. е. . В частности, .

Доказательство непосредственно следует из определений.

Предложение Пусть - регулярное подпространство знакопеременного пространства . Тогда расщепляет , точнее, . Если - другое расщепление, .

Доказательство. Так как регулярно, то . Следовательно, ввиду (??)

Поэтому и, значит, . Далее, если , то , откуда . Сравнивая размерности, получаем .

Предложение Если и - произвольные подпространства регулярного знакопеременного пространства размерности , то

Доказательство. Так как регулярно, то ввиду (??) отображение биективно. Следовательно, , откуда ввиду (??) . Этим доказано (1). Далее, , поэтому сравнение размерностей дает . Этим доказано (2). Докажем теперь (3):

Аналогично доказывается (4). Наконец, утверждение (5) тривиально.

Рассмотрим радикал знакопеременного пространства , и пусть - подпространство пространства , такое, что . Назовем всякое такое разложение радикальным разложением пространства . Очевидно, определяется не единственным образом, за исключением случаев, когда регулярно или вполне вырождено. Из соотношений

следует равенство , поэтому регулярно.

Теорема Если - регулярное знакопеременное пространство размерности , то

В частности, регулярное знакопеременное пространство имеет четную размерность и дискриминант . Кроме того, регулярные знакопеременные пространства одинаковой размерности над одним и тем же полем изометричны.

Доказательство. Ввиду регулярности пространства существуют векторы и , удовлетворяющие условию . Так как , то эти векторы должны быть независимыми; поэтому - плоскость. Очевидно,

В частности, регулярно, так как дискриминант отличен от нуля. Следовательно, ввиду (??) . Но - также регулярное знакопеременное пространство. Первое утверждение следует теперь из соображений индукции. Второе тривиально следует из первого. Для доказательства третьего утверждения применяем (??). Теорема доказана.

База регулярного знакопеременного пространства называется гиперболической, если

и симплектической, если

Если

- гиперболическая база пространства , то перестановка

- симплектическая база, и наоборот. По теореме (??) ненулевое регулярное знакопеременное пространство имеет гиперболическую базу, а потому и симплектическую базу.

Предложение Пусть - регулярное знакопеременное пространство, - вполне вырожденное подпространство и - база подпространства . Тогда существует регулярное подпространство пространства вида , где - регулярные плоскости и , .

Доказательство. Случай очевиден. При применяем индукцию по . Положим и . Тогда , откуда ввиду (??). Выберем и положим . Тогда , , и, следовательно, . Значит, - регулярная плоскость, содержащая . В силу (??) можно записать . Тогда , так как и следовательно, . Остается применить предположение индукции к рассматриваемому как подпространство знакопеременного пространства .

Предложение Если - максимальное вполне вырожденное подпространство регулярного знакопеременного пространства , то .

Доказательство. Так как вполне вырождено, то , поэтому ввиду (??) , откуда . Если допустить, что , то несложное применение утверждений (??) и (??) даст вполне вырожденное подпространство, строго содержащее в противоречие с максимальностью . Поэтому .

Предложение Если и - максимальные вполне вырожденные подпространства регулярного знакопеременного пространства , удовлетворяющие условию , то для каждой базы пространства М существует такая база пространства , что - симплектическая база пространства .

Доказательство. Разумеется, (ввиду (??)). Пусть , - база подпространства . Тогда - база пространства . Пусть - сопряженная к ней база относительно (см. (??)). Поскольку , то элементы лежат в . Значит, - база пространства , а