Быстрый поиск

Дипломная работа: Максимальные факторизации симплектических групп

Тогда

откуда видно, что изменение матрицы пространства при изменении базы описывается соотношением .

Если - абстрактное векторное пространство с базой и - произвольная знакопеременная -матрица над , то существует единственный способ превратить в знакопеременное пространство, такое, что в , а именно, положить

где - элемент, стоящий в матрице на месте .

Предложение Предположим, что - знакопеременное пространство, - его база и в . Тогда матричный изоморфизм, определенный базой , отображает на группу всех обратимых -матриц над , удовлетворяющих соотношению

Дискриминантом векторов в знакопеременном пространстве называется определитель

В частности, если - база пространства и в этой базе, то

Если - другая база, то соотношение показывает, что

для некоторого из . Следовательно, канонический образ элемента в не зависит от базы; он называется дискриминантом знакопеременного пространства и обозначается через . Здесь множество определяется очевидным образом: берем факторгруппу , присоединяем к ней нуль 0 и полагаем, что произведение нуля и любого другого элемента равно нулю. Запись , где , будет обозначать, что равно каноническому образу элемента в или, другими словами, что обладает базой , для которой . Если , то полагаем .

Пример Рассмотрим знакопеременное пространство со знакопеременной формой . Пусть - его база, а - сопряженная база сопряженного пространства . Пусть в . Тогда . Легко видеть, что матрица линейного преобразования , определенного ранее, относительно баз и равна ; действительно, если , то

Аналогично матрица преобразования относительно баз и равна .

Предложение Любые векторов знакопеременного пространства , такие, что , линейно независимы.

Доказательство. Зависимость влечет за собой для . Это означает зависимость между строками матрицы , что невозможно, так как дискриминант не равен 0.

Предложение Следующие утверждения для знакопеременного пространства равносильны:

биективно,

биективно.

Доказательство. Можно считать, что . Зафиксируем базу пространства , и пусть - сопряженная база. Пусть в . Ввиду (??)


	обратима
	биективно,

поэтому (3) равносильно (5). Аналогично (3) равносильно (4). Далее

биективно



	,

так что (5) равносильно (2). Наконец, очевидно, что (2) равносильно (1).

Определение Знакопеременное пространство называется регулярным, если оно удовлетворяет одному из пяти равносильных условий (??). Знакопеременное пространство называется вырожденным, если оно не является регулярным. Наконец, оно называется вполне вырожденным, если .

Если , то регулярно. Если , то ввиду (??) и (??)

Предложение Пусть - представление знакопеременных пространств. Если регулярно, то - изометрия.

Доказательство. Возьмем из ядра представления . Тогда . Отсюда ввиду регулярности пространства получаем, что .

Предложение Каждой базе регулярного знакопеременного пространства соответствует единственная база этого пространства, называемая сопряженной к относительно и такая, что для всех , . Если в и в , то .

Доказательство. 1) Положим для , где - сопряженная к база сопряженного пространства . Тогда - база, так как биективно. Кроме того,

Этим доказано существование базы . Единственность непосредственно следует из регулярности.

2) Пусть . Тогда и

Отсюда , так что и .

Рассмотрим знакопеременное пространство со знакопеременной формой . Будем говорить, что имеет ортогональное разложение

на подпространства если оно является прямой суммой с попарно ортогональными , т. е. при . Назовем компонентами этого ортогонального разложения. Будем говорить, что подпространство расщепляет или что является компонентой пространства , если существует подпространство пространства , такое, что . Имеем

где произведение берется в .

Рассмотрим два знакопеременных пространства и над одним и тем же полем и предположим, что имеется ортогональное разложение , а - сумма пространств , , причем при . Пусть для каждого , , задано представление . Тогда, как известно из линейной алгебры, существует единственное линейное преобразование , согласующееся с каждым на . На самом деле легко проверить, что - представление. Мы будем записывать его в виде