Быстрый поиск

Дипломная работа: Максимальные факторизации симплектических групп

Предложение Предположим, что , или , , и пусть - нормальная подгруппа группы , содержащая вырожденный элемент с вычетом 2, представимый в виде произведения двух трансвекций из . Тогда .

Доказательство. 1) Модификация рассуждений, использованных при доказательстве утверждения (??), позволяет считать, что , если , и , если .

2) Рассмотрим сначала случай , . Тогда имеет вид , причем , а звездочки равны . Далее эти трансвекции перестановочны, так как , поэтому мы можем, если нужно, заменить на и считать, что на самом деле . Можно считать, что эта новая есть . В самом деле, если , то с помощью теоремы Витта выберем такое , что , . Тогда

Заменим теперь на

Итак, можно считать, что . Дополним до симплектической базы

пространства и заметим, что

Подходящим сопряжением мы можем найти в линейные преобразования с матрицами

в базе . Произведение этих преобразований равно элементу из с матрицей

Следовательно, группа содержит . Таким образом, она содержит все (= обе) трансвекции из с вычетной прямой . Ввиду (??) отсюда следует, что содержит все трансвекции из и, значит, .

3) Пусть теперь , . Тогда и . Дополним до симплектической базы

Тогда

Сопряжение дает нам в линейные преобразования с матрицами

а потому и с матрицами

а значит, и с матрицей

Другими словами, содержит и, следовательно, все трансвекции из , откуда .

Предложение Если , то за одним исключением: .

Доказательство. Пусть , для некоторого . По теореме Витта существует такое , что - плоскость и

Положим

Осталось применить (??) и (??). В исключительном случае применяем (??) и хорошо известные свойства группы .

Предложение Если , то за одним исключением: .

Теоремы о простоте

Теорема Для любого четного числа и любого поля группа проста за исключением группы , которая простой не является.

Доказательство. 1) Исключительное поведение группы следует из (??). Будем предполагать поэтому, что в общем случае и при . Вместо проективной группы мы будем иметь дело с группой . Достаточно рассмотреть нормальную подгруппу группы , не содержащуюся в подгруппе , и доказать, что .

2) Сначала покажем, что имеются , , такие, что - регулярная плоскость. Для этого возьмем в группе элемент . сдвигает по крайней мере одну прямую из , т. е. существует такая прямая из , что . Пусть - нетривиальная трансвекция из с вычетной прямой . Тогда элемент

принадлежит группе и является произведением двух трансвекции из с различными вычетными прямыми и . Поэтому вычетное пространство преобразования есть плоскость , в частности, . Если - гиперболическое преобразование, то - инволюция. Применим теперь утверждение 1.18, если характеристика равна , и утверждение 1.13, если характеристика не равна . Тогда, в частности, мы получим, что не является произведением трансвекции из , что противоречит допущению. Итак, не может быть гиперболическим. Значит, существует такой вектор , что , т. е. - регулярная плоскость.

3) Можно также показать, что имеются вектор и преобразование , такие, что - вырожденная плоскость. В самом деле, возьмем в элемент . Существует такой вектор , что . Если , то цель достигнута, поэтому будем считать, что . Выберем так, чтобы было

По теореме Витта в найдется преобразование , такое, что , . Тогда преобразование принадлежит и переводит в , поэтому - вырожденная плоскость.

4) Возьмем , так, чтобы плоскость была регулярной при и вырожденной при . Тогда преобразование

принадлежит группе , является произведением двух трансвекций из и его вычетное пространство есть плоскость . Поэтому .

Предложение Если и - нормальная подгруппа группы , то или , за исключением группы , которая, очевидно, не обладает этим свойством.

Доказательство. По поводу исключения см. (??). Далее, применяя к теорему (??), получим, что или . Допустим последнее. Тогда

Предложение доказано.

Теорему о простоте можно также доказать, используя группы подстановок. Напомним, что группой подстановок непустого множества называется подгруппа группы всех подстановок множества . Далее, называется транзитивной, если для любых , существует такая подстановка из , что . Напомним, что разбиением множества называется множество попарно непересекающихся подмножеств, объединение которых равно . Тривиальными называются два разбиения, состоящие соответственно из самого и из всех одноэлементных подмножеств. Транзитивная группа подстановок множества называется импримитивной, если существует такое нетривиальное разбиение множества , что для всех , . В противном случае группа называется примитивной. Следующий результат является здесь ключевым.