Быстрый поиск

Дипломная работа: Максимальные факторизации симплектических групп

Проективность пространства есть по определению проективность этого пространства на себя. Множество проективностей пространства - подгруппа группы подстановок множества , которую мы будем называть общей группой проективностей пространства . Применение черты индуцирует гомоморфизм

Иногда мы будем использовать вместо , полагая

для образа подмножества из при . В частности, и - подгруппы группы проективностей пространства , они называются проективной общей линейной группой и проективной специальной линейной группой пространства . Было доказано, что совпадает с группой всех проективностей пространства , поэтому мы используем это обозначение для обеих групп. Под группой проективностей пространства будем понимать любую подгруппу группы , а под проективной группой линейных преобразований пространства - любую подгруппу группы .

Для каждого ненулевого элемента из определим линейное преобразование , полагая

Ясно, что . Преобразование из вида для некоторого будем называть растяжением пространства . Множество растяжений пространства является нормальной подгруппой группы , которая будет обозначаться через . Очевидно, имеет место изоморфизм . Имеют место следующие два предложения.

Предложение Элемент группы тогда и только тогда принадлежит группе , когда для всех прямых из . В частности,

Предложение Централизатор в любого элемента из , не являющегося растяжением, абелев.

Пусть теперь - регулярное знакопеременное пространство. Тогда будет, конечно, группой геометрических преобразований пространства . Под группой симплектических преобразований знакопеременного пространства мы будем понимать произвольную подгруппу из . Группа , получаемая из применением гомоморфизма , называется проективной симплектической группой знакопеременного пространства . Под проективной группой симплектических преобразований пространства будем понимать любую подгруппу группы .

Предложение Если - ненулевое регулярное знакопеременное пространство, то

Доказательство является легким упражнением и потому опускается.

Предложение Если - регулярное знакопеременное пространство и , то .

Доказательство. Взяв симплектическую базу пространства , с помощью (??) без труда убеждаемся, что элемент из тогда и только тогда лежит в , когда .

Полярностью абстрактного векторного пространства над полем называется биекция , , такая, что

1) ,

для всех , из . Если - регулярное знакопеременное пространство над , то, очевидно, - полярность; она называется полярностью, определенной знакопеременной формой , имеющейся на .

Предложение Пусть - абстрактное векторное пространство над полем и . Предположим, что - регулярное знакопеременное пространство относительно каждой из двух знакопеременных форм и . Формы и тогда и только тогда определяют одну и ту же полярность, когда найдется такой ненулевой элемент из , что .

Доказательство. Если , то утверждение очевидно. Остается доказать обратное утверждение. Так как регулярно относительно и , то ввиду (??) и (??) ассоциированные линейные отображения и биективны, т. е. и . Из (??) и предположения о том, что и определяют одну и ту же полярность, следует, что для всех подпространств из . Следовательно, - элемент группы , относительно которого инвариантны все подпространства из , В частности, относительно него инвариантны все прямые из . Значит, ввиду (??) . Другими словами, найдется такой ненулевой элемент из , что для всех из . Но тогда для всех из . Поэтому .

Структурные теоремы. Порядки симплектических групп

Предложение Если поле бесконечно, то группы , над также бесконечны.

Доказательство. Число трансвекций из бесконечно.

Теорема Порядок группы равен

Порядок группы равен

Доказательство. Второе утверждение следует из первого, так как группа изоморфна группе . Докажем первое утверждение индукцией по . Если , то и можно считать .

Под парой будем понимать упорядоченную пару векторов , , такую, что . Если фиксирован, то существует единственная пара , где принадлежит данной прямой, не ортогональной к . Поэтому число пар с на первом месте равно числу прямых, не лежащих в , т. е.

Таким образом, имеется пар с на первом месте, а всего пар.

Зафиксируем какую-нибудь пару . По теореме Витта для каждой пары найдется по крайней мере один элемент группы , переводящий в . Следовательно, имеется точно

элементов из , переводящих пару в пару . По предположению индукции это число равно

Далее, каждый элемент группы переводит точно в одну пару. Следовательно, группа содержит

элементов, что и требовалось доказать.

Предложение Если , то число максимальных вполне вырожденных подпространств пространства равно

Доказательство. 1) Покажем сначала, что подгруппа группы , оставляющая на месте произвольное максимальное вполне вырожденное подпространство пространства , имеет порядок