Быстрый поиск

Дипломная работа: Максимальные факторизации симплектических групп

где , а - симметрическая матрица порядка над ; эти и определяются преобразованием однозначно. Кроме того, любые такие и соответствуют некоторому из . Наше утверждение получается теперь, если умножить порядок группы на число симметрических матриц порядка над полем , т. е. .

2) Зафиксируем максимальное вполне вырожденное подпространство пространства . По теореме Витта все максимальные вполне вырожденные подпространства пространства даются формулой , где пробегает группу . Из замечания 1) легко следует, что в этом процессе каждое максимальное вполне вырожденное подпространство повторяется точно

раз, поэтому общее число таких подпространств равно порядку группы , деленному на указанную величину. Очевидно, это и есть требуемое число.

Предложение Если , то число регулярных плоскостей в пространстве равно

Доказательство. Поступая, как при доказательстве утверждения (??), убедимся, что должно содержать

регулярных плоскостей. Это число совпадает с указанным выше (применить теорему (??)).

Предложение Группа изоморфна симметрической группе .

Доказательство. Будем называть конфигурацией произвольное подмножество из элементов в -мерном регулярном знакопеременном пространстве над полем , обладающее тем свойством, что любые два его различных элемента не ортогональны. Каждый ненулевой вектор из принадлежит ровно двум конфигурациям и , так что они пересекаются по . Чтобы убедиться в этом, возьмем симплектическую базу пространства , в которой . Ясно, что

- две различные конфигурации, пересекающиеся по множеству . Легкая проверка перебором показывает, что других конфигураций, содержащих элемент , нет. Если теперь выписать все различные конфигурации в пространстве , то каждый вектор из появится точно в двух из них, откуда и . Пусть - Множество всех конфигураций в .

Если - произвольный элемент из , то тогда и только тогда является конфигурацией, когда - конфигурация, поэтому индуцирует отображение . Ясно, что это отображение на и, значит, перестановка на . Очевидно, что есть гомоморфное отображение . Чтобы найти его ядро, возьмем в элемент . Пусть таков, что . Пусть и - две конфигурации, содержащие . Тогда не принадлежит одной из них, скажем, . Отсюда и . Другими словами, ядро тривиально, и мы имеем инъективный гомоморфизм . По теореме (??) группа состоит из элементов, поэтому .

Центры

Заметим, что группа неабелева. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять нетривиальные проективные трансвекции из с неортогональными вычетными прямыми. Следовательно, группа также неабелева.

Предложение Группа имеет тривиальный центр, а .

Доказательство. Рассмотрим произвольный элемент из центра группы . Пусть - произвольная прямая из . Пусть - проективная трансвекция из с вычетной прямой . Тогда вычетной прямой преобразования является . Но , так как лежит в центре. Следовательно, для всех . Поэтому и, значит, группа действительно не имеет центра. Второе утверждение следует из первого, если применить гомоморфизм .

Коммутанты

Предложение Если , - произвольные прямые из , то множество трансвекций из с вычетной прямой и множество трансвекций с вычетной прямой сопряжены относительно .

Доказательство. По теореме Витта в группе существует такой элемент , что . Тогда сопряжение элементом отображает множество трансвекций из с вычетной прямой на множество трансвекций из с вычетной прямой .

Пример Две трансвекций из не обязательно сопряжены в . Например, трансвекций с вычетной прямой , сопряженные с , имеют вид , где пробегает .

Замечание Пусть - симплектическая база пространства . Если - произвольная симметрическая матрица порядка 2 над и - линейное преобразование, определенное матрицей

то мы знаем, что принадлежит группе . Если преобразовать в , производя 1) прибавление кратного одного столбца к другому с последующим аналогичным преобразованием соответствующих строк или 2) перестановку двух столбцов с последующей перестановкой соответствующих строк, то линейное преобразование с матрицей

снова будет принадлежать группе , так как тоже будет симметрической. В действительности и сопряжены в . Чтобы убедиться в этом, заметим, что при подходящей матрице из . Преобразование , определенное матрицей

принадлежит группе , и , так как

Предложение Предположим, что , , и пусть - нормальная подгруппа группы , содержащая регулярный элемент с вычетом , представимый в виде произведения двух трансвекций из . Тогда .

Доказательство. Имеем разложение , где - регулярная плоскость. Рассмотрим группу

Тогда . Кроме того, . Это очевидно, если ; если же , то применяем 2.1.12 и теорему 2.1.11 [??]. Поэтому - нормальная подгруппа в , не содержащаяся в . Отсюда следует, что . В частности, если - фиксированная прямая в , то содержит все трансвекции плоскости с вычетной прямой . Следовательно, содержит все трансвекции из с вычетной прямой , а потому в силу (??) вообще все трансвекции из и .