Быстрый поиск

Дипломная работа: Максимальные факторизации симплектических групп

- симплектическая база в .

Предложение Пусть - регулярное знакопеременное пространство и

- его симплектическая база. Пусть - максимальное вполне вырожденное пространство . Тогда матричный изоморфизм, ассоциированный с , отображает группу линейных преобразований

на группу матриц вида

где - обратимая -матрица, а -матрица удовлетворяет соотношению .

Доказательство. Это легко проверяется надлежащим применением утверждения (??).

Теорема Теорема Витта Пусть и - изометричные регулярные знакопеременные пространства над одним и тем же полем . Если - произвольное подпространство пространства и - изометрия в , то ее можно продолжить до изометрии пространства на .

Доказательство. Возьмем радикальное разложение , и пусть - база подпространства (имеется в виду, что , если ). Применяя (??) к регулярному знакопеременному пространству , мы видим, что в нем существует подпространство вида

где - регулярные плоскости и , . Так как регулярно, то оно расщепляет ; следовательно, существует регулярное подпространство пространства , такое, что

Положим , и для . Тогда

Кроме того,

- радикальное разложение. Мы можем повторить предыдущие рассуждения и получить разложение

в котором

где - регулярная плоскость и для . С помощью (??) найдем изометрию пространства на , согласованную с на каждом , а следовательно, на . Кроме того, данное отображает на . Значит, существует продолжение изометрии до изометрии пространства на . Далее , так как изометрично , поэтому и, следовательно, по теореме (??) существует изометрия пространства на . Таким образом, существует продолжение изометрии до изометрии пространства на .

Проективные преобразования

Геометрическое преобразование абстрактного векторного пространства на абстрактное векторное пространство - это биекция со следующим свойством: подмножество пространства тогда и только тогда является подпространством в , когда - подпространство в .

Очевидно, что композиция геометрических преобразований - геометрическое преобразование и преобразование, обратное к геометрическому, - также геометрическое. Геометрическое преобразование сохраняет включение, объединение и пересечение подпространств, а также ряды Жордана -- Гёльдера, поэтому справедливо следующее предложение.

Предложение Если - геометрическое преобразование пространства на , то для любых подпространств , пространства выполняются соотношения

Под проективным пространством пространства мы будем понимать множество всех подпространств пространства . Таким образом, состоит из элементов множества , являющихся подпространствами в ; - это частично упорядоченное множество, отношение порядка в котором индуцируется теоретико-множественным включением в . Любые два элемента и из имеют объединение и пересечение, а именно и , так что - решетка; она имеет наибольший элемент и наименьший элемент . Каждому элементу пространства сопоставляется число . Каждое из обладает рядом Жордана -- Гёльдера , и все такие ряды имеют длину . Положим

и назовем , , множествами прямых, плоскостей и гиперплоскостей пространства соответственно.

Проективность пространства на - это биекция со следующим свойством: для любых , из включение имеет место тогда и только тогда, когда .

Очевидно, что композиция проективностей - проективность и отображение, обратное к проективности, - также проективность. Проективность пространства на сохраняет порядок, объединения, пересечения и ряды Жордана -- Гёльдера для элементов пространств и , поэтому справедливо следующее предложение.

Предложение Если - проективность пространства на , то для любых элементов , из выполняются соотношения

В частности, отображает на и определяется своими значениями на , т. е. на прямых.

Если - геометрическое преобразование, то отображение , полученное из сужением, является проективностью пространства на . Всякая проективность , имеющая вид для некоторого такого , будет называться проективным геометрическим преобразованием пространства на . Черту мы будем всегда использовать для обозначения проективного геометрического преобразования , полученного описанным способом из геометрического преобразования . Таким образом, переводит подпространство пространства , т.е. точку из , в подпространство пространства . Имеем

В частности, композиция проективных геометрических преобразований и преобразование, обратное к проективному геометрическому, сами являются проективными геометрическими.

Геометрическое преобразование пространства есть по определению геометрическое преобразование пространства на себя. Множество геометрических преобразований пространства является подгруппой группы подстановок множества . Она будет обозначаться через и называться общей геометрической группой пространства . Под группой геометрических преобразований пространства мы будем понимать произвольную подгруппу группы . Общая линейная группа и специальная линейная группа являются, следовательно, группами геометрических преобразований. Под группой линейных преобразований будем понимать любую подгруппу группы .