Реферат: Структура аффинного пространства над телом
А). Покажем сначала, что либо .
Допустим, что и действительно имеют общую точку. Тогда найдутся точки и , такие, что . Выбирая и полагая по-прежнему , получим с помощью леммы 3, что
и аналогично
,
откуда .
Поскольку сформулированное утверждение при очевидно, будем далее полагать , т.е. считать, что и не имеют общих точек.
Б). Предположим, что - прямая в и ; тогда имеет размерность 2.
Если бы на прямой существовали две точки , такие, что , то для любой точки мы имели бы и , и тогда не было бы двумерным вопреки предположению. Отсюда следует, что - прямая.
Значит, и - две прямые без общих точек, лежащие в одном ЛАМ размерности 2, т.е. параллельные.
В). Если сводится к одной точке, то меняя ролями ии применяя результат Б), мы видим, что также сводится к точке.
Лемма 5. Если пара точек в , таких, что множества ,
непусты, то и - ЛАМ с общим направлением.
Доказательство. По лемме 2, и суть ЛАМ в . Предполагая, что , фиксируем точку в и точку в ; параллельный перенос на вектор обозначим через . Для любой точки прямая параллельна прямой, и поскольку образ прямой сводится к одной точке , то образ прямой сводится к одной точке . Таким образом, влечет и имеет место включение .
Меняя ролями и , получим включение , откуда . Итак, , имеют общее направление.
Лемма 6. Обозначим через общее направление непустых ЛАМ в вида , где , и пусть - факторпространство по отношению эквивалентности , определенному условием .
Тогда имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция является аффинной.
Доказательство. Выбор начала в сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства По его векторному подпространству , и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку за начало в .
Отметим, что является пространством орбит действия группы трансляций на ; это есть множество ЛАМ с направлением .(см. §2).
Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение представляется в виде , где - инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что полуаффинно.
Доказательство. Существование и инъективность вытекают из того, что соотношение равносильно (см. лемму 5), и тем самым . Для доказательства полуаффинности покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.
Пусть – произвольная аффинная прямая , порожденная двумя различными элементами из . Без труда проверяется, что есть ЛАМ в , порожденное .
По лемме 3, есть ЛАМ, порожденное ; итак (в силу инъективности ), является аффинной прямой .
Наконец, не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и , что противоречит условию 2). Поэтому .
Отсюда следует, что удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на , при условии замены на . Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении двух параллельных прямых , из - две параллельные прямые. Наконец, удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены на ). Следовательно, полуаффинно и так же обстоит дело с .
Теорема 9.1 тем самым полностью установлена.
Этот результат особенно интересен в случае, когда тела и совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда или при : в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга пространства в .
Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).
Так же и в случае условие 1) выполнено для любого отображения в (поскольку каждая прямая в и состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.
Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.
Например, , есть биекция векторного пространства над в векторное пространство над , и образ каждой прямой из при отображении содержится в фнекоторой прямой пространства , но не является полулинейным (поскольку и не изоморфны).
Лемма 6. Обозначим через общее направление непустых ЛАМ в вида , где , и пусть - факторпространство по отношению эквивалентности , определенному условием .
Тогда имеет единственную аффинную структуру, такую, что каноническая проекция является аффинной.
Доказательство. Выбор начала в сводит дело к случаю факторпространства векторного пространства По его векторному подпространству , и оказывается, что достаточно применить теорему II.4.3, приняв точку за начало в .
Отметим, что является пространством орбит действия группы трансляций на ; это есть множество ЛАМ с направлением .(см. §2).
Лемма 7. В обозначениях леммы 6 отображение представляется в виде , где - инъективное полуаффинное отображение; отсюда вытекает, что полуаффинно.
Доказательство. Существование и инъективность вытекают из того, что соотношение равносильно (см. лемму 5), и тем самым . Для доказательства полуаффинности покажем, что оно удовлетворяет условиям теоремы 8.1.
Пусть – произвольная аффинная прямая , порожденная двумя различными элементами из . Без труда проверяется, что есть ЛАМ в , порожденное .
По лемме 3, есть ЛАМ, порожденное ; итак (в силу инъективности ), является аффинной прямой .
Наконец, не может сводиться к одной точке или прямо, так как тогда к точке или прямой сводилось бы и , что противоречит условию 2). Поэтому .
Отсюда следует, что удовлетворяет условиям 1) и 2), наложенным на , при условии замены на . Лемма 4 показывает тогда, что образы при отображении двух параллельных прямых , из - две параллельные прямые. Наконец, удовлетворяет всем условиям теоремы 8.1 (после замены на ). Следовательно, полуаффинно и так же обстоит дело с .
Теорема 9.1 тем самым полностью установлена.
Этот результат особенно интересен в случае, когда тела и совпадают и не допускают других автоморфизмов, кроме тождественного (например, когда или при : в этом случае мы получаем чисто геометрическую характеризацию аффинных отображений ранга пространства в .
Кроме того, очевидно, что теорема 9.1 потеряла бы силу при отсутствии условия 2): ведь любое отображение на прямую тривиальным образом удовлетворяет условию 1).
Так же и в случае условие 1) выполнено для любого отображения в (поскольку каждая прямая в и состоит из двух точек). Теорема 9.1 теряет силу и в этом случае.
Наконец, нельзя заменить требование «образ прямой есть прямая или точка» более слабым условием «образы коллинеарных точек коллинераны», даже при условии, что биективно.
Например, , есть биекция векторного пространства над в векторное пространство над , и образ каждой прямой из при отображении содержится в некоторой прямой пространства , но не является полулинейным (поскольку и не изоморфны).