Быстрый поиск

Реферат: Структура аффинного пространства над телом

В более общей форме теорема Фалеса есть не что иное, как констатация того факта, что установленное

Рис.3

указанным способом соответствие между и является аффинным.

В частности, если векторная гиперплоскость, то справедлива

Теорема 5.11. Аффинные гиперплоскости, параллельные некоторой фиксированной гиперплоскости, высекают на произвольной паре не параллельных им прямых пропорциональные отрезки.

§6. Каноническое погружение аффинного пространства в векторное. Приложения.

Пусть снова - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством . Как мы уже видели, выбор начала в позволяет отождествить с теперь мы докажем, что канонически отождествляется с аффинной гиперплоскостью некоторого пространства изоморфного

Метод будет состоять в сопоставлении каждой точке отображения

Предварительно сформулируем такое утверждение:

Лемма. Пусть левое векторное пространство над телом а произвольное множество. Тогда множество отображений в есть левое векторное пространство над по отношению к обычным операциям сложения функций и умножению их слева на скаляры:

В силу доказанного искомое векторное пространство будет ВПП в , порожденным отображениями Поэтому мы начнем с изучения этого пространства

Предложение 6.1. Пусть - векторное подпространство в , порожденное функциями пуст, далее, элемент из . Тогда

А). Сумма зависит только от функции и притом линейно, т.е. является линейным отображением в которое мы обозначим

Б). Если то существует единственная точка , такая, что .

В). Если то постоянна.

Доказательство. Заметим сначала, что утверждение А) не очевидно, так как могут существовать различные системы взвешенных точек , такие, что но оно легко вытекает из того факта, что для любой пары выполнено соотношение

, (1)

которое доказывает существование и линейность функции

Б). Если выберем в произвольную точку Соотношение (1) показывает, что в существует единственная точка такая, что она определяется условием Из (1) также видно, что эта точка – единственная, для которой Таким образом, барицентр семейства зависит только от функции

В). Наконец, последнее утверждение также вытекает из (1).

Следствие. является теоретико-множественным объединением векторного пространства постоянных функций и множества функций вида

Предложение 6.2. Пусть отображение и пусть отображение в которое любому вектору ставит в соответствие постоянную функцию, равную на .

Тогда аффинно с линейной частью и потому инъективно; при этом есть аффинная гиперплоскость в с уравнением

Доказательство. Для любой пары разность есть постоянная функция ; положим . Таким образом, аффинно, и инъективно, как и

С другой стороны, как показывает предыдущее предложение, функции суть элементы удовлетворяющие условию .

Теорема 6.3. К каждому аффинному пространству , ассоциированному с векторным -пространством , можно канонически присоединить:

· Векторное пространство изоморфное ,

· Ненулевую линейную форму на ,

· Аффинную инъекцию , такую, что - аффинная гиперплоскость в с уравнением

Доказательство. Остается только установить изоморфизм между и . Для этого достаточно заметить, что какова бы ни была точка, отображение , линейно и биективно. Установленный таким путем изоморфизм очевидным образом зависит от выбора точки .

Заметим, что аффинная гиперплоскость имеет в качестве направляющей векторную гиперплоскость постоянных функций, которая отождествляется с .

Замечания. 1). Векторную структуру на множестве можно определить непосредственно, не прибегая к векторному пространству , но это связано с утомительными выкладками.

2). Особый интерес теоремы 6.3 в том, что она обеспечивает каноническое погружение единственным образом определяемое заданием.

Обозначения. Векторное пространство , построенное таким образом, называется векторным продолжением и обозначается .

Если имеет размерность то размерность равна . Мы увидим, что введение этого пространства позволяет прояснить многие вопросы.

§7. Приложения теоремы о погружении.

Векторная интерпретация барицентров.

Вернемся к обозначениям §6. Инъекция позволяет нам отождествить с аффинной гиперплоскостью в , в то время как ее линейная часть позволяет отождествить с векторной гиперплоскостью

Предложение 7.1. Пусть конченое семейство взвешенных точек , где точки отождествлены с элементами . Для того, чтобы элемент из принадлежал (соотв. ), необходимо и достаточно, чтобы (соотв. ).

Доказательство. Это вытекает из соотношения

Правило. Отождествление с подмножеством в позволяет без предосторожностей записывать любые конечные линейные комбинации элементов . Но такая комбинация представляет элемент из только тогда, когда ( этот элемент будет барицентром системы ); если же то представляет элемент из равный для любой точки .

Приложения. 1). Для того, чтобы три точки из были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные одновременно нулю скаляры такие, что

и (1)

Соотношения (1) на самом деле равносильны одному соотношению ; они интересны своей симметричной формой относительно и возможностью складывать подобные соотношения.

2). Если то барицентром системы является точка пересечения с векторной прямой с направляющей в .

3). Для того чтобы семейство точек из было аффинно свободным (соотв. аффинно порождающим), необходимо и достаточно, чтобы семейство было свободным (соотв. семейством образующих) в векторном пространстве