Быстрый поиск

Реферат: Структура аффинного пространства над телом

Обратно, для того, чтобы точек в ℰ образовали аффинный репер, необходимо и достаточно, чтобы векторов образовали базис , или (эквивалентное условие) чтобы точки не принадлежали одной аффинной гиперплоскости.

Заметим, что если есть ЛАМ конечной размерности в ℰ и - аффинный репер в , то есть множество точек с . Этот способ параметризации часто полезен. В частности, аффинная прямая, соединяющая две точки в ℰ, есть множество точек .

Характеризация аффинных подпространств

Следующая теорема оправдывает элементарное определение плоскости в школьном курсе геометрии как такого множества точек, что каждая прямая, имеющая с ним две общие точки, вся принадлежит .

Теорема 4.8. для того, чтобы непустая часть пространства была линейным аффинным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы

a) если - любая прямая, соединяющая две точки , содержалась в ;

b) если - эвибарицентр любых трех точек лежал в .

Доказательство. Нам уже известна необходимость этого условия. Для доказательства достаточности выберем в точку и покажем, что есть ВПП пространства .

a) Предположив, что , установим прежде всего, что условия и влекут .

Действительно, по предположению существует точка , такая, что . Точка , определенная условием , принадлежит прямой (АВ) и, значит, , откуда следует, что .

Рассмотрим далее два любых вектора и в и выберем (что возможно, так как не сводится к ). Точки и (см. рис. 1) принадлежат соответственно прямым (АВ) и (АС), а поэтому и . Следовательно, точка принадлежит , откуда . Итак есть ВПП в .

Рис. 1

b) Если , то тривиальным образом влечет (так как может принимать только два значения 0, 1). Если , - два вектора из , то точка , определяемая условием , есть эквибарицентр , откуда и вытекает наше утверждение.

Аффинные и полуаффинные отображения

Определение 5.1. Пусть ℰ, - два аффинных пространства, ассоциированных соответственно с векторными пространствами , .

Отображениеℰназывается полуаффинным (соответственно аффинным), если в ℰ существует такая точка , что отображение , полулинейно (соответственно линейно).

Предложение 5.1. Если в ℰ существует точка , удовлетворяющая вышеуказанным требованиям, то им удовлетворяет любая точка ℰ и отображение не зависит от .

Доказательство. Для любой пары ℰ имеем в силу линейности

что и доказывает требуемое.

Обозначения. Отображение обозначается и называется полулинейной (соответственно линейной) частью .

Истолкование. Фиксируем в ℰ некоторую точку и снабдим , векторными структурами, принимая за начало в ℰ точку , а в - точку . Тогда будет полуаффинным (соответственно аффинным) в том и только том случае, если - полулинейное (соответственно линейное) отображение ℰА в .

В частности, изучение полуаффинных (соответственно аффинных) отображений пространства ℰ в себя, допускающих неподвижную точку , сводится к изучению полулинейных (соответственно линейных) отображений ℰА в себя.

Так обстоит дело в случае геометрий, проектирований и симметрий (см. ниже).

Важно заметить, что полуаффинные (соответственно аффинные) отображения полностью определяется своей полулинейной (соответственно линейной) частью и образом одной точки.

Если , - два векторных пространства, то полуаффинное (соответственно аффинное) отображение и есть отображение вида , где полулинейно (соответственно линейно), а - постоянный элемент.

Непосредственные следствия. Если ℰ полуаффинно, то

1) Образ ЛАМ в ℰ есть ЛАМ в .

2) Прообраз ЛАМ в есть ЛАМ в ℰ или пустое множество.

3) Для любой системы взвешенных точек ℰ образ барицентра есть барицентр , где обозначает изоморфизм тел, ассоциированных с .

Применение аффинных реперов

Теорема 5.2. Пусть ℰ, - аффинные пространства над телами ,, - изоморфизм на , - аффинный репер в ℰ и - семейство точек , индексированное тем же множеством индексов .

Тогда существует единственное полуаффинное отображение пространства ℰ в , ассоциированное с изоморфизмом , такое, что для всех .

Более того, биективно (соответственно инъективно, сюръективно) тогда и только тогда, когда семейство есть аффинный репер (соответственно свободное семейство, семейство образующих) для .

Доказательство. Вернемся к теореме , взяв одну из точек в качестве начала в ℰ, а соответствующую точку - в ; отображение определяется равенством

для любого конечного подмножества и любой системы скаляров , таких, что, .

В частности, аффинное отображение ℰ в определяется заданием образа аффинного репера из ℰ.

Приложение: уравнение аффинной гиперплоскости или ЛАМ

Опираясь на исследование, проведенное в параграфе II.6, легко получаем

Предложение 5.3. Пусть ℰ- аффинное пространство над телом . Тогда

a) Если ℰ - непостоянное аффинное отображение, то - аффинная гиперплоскость в ℰ с направлением .

b) Обратно, если - аффинная гиперплоскость в ℰ, то существует аффинное отображение ℰ, такое, что , и все аффинные отображения ℰ в с этим свойством суть отображения , где .

Если ℰ- аффинное пространство конечной размерности , то каждое ЛАМ размерности в ℰ определяется системой уравнений вида , где - аффинные отображения ℰ в , линейные части которых независимы.

Характеризация аффинных отображений

Теорема 5.4. Пусть ℰ- два аффинных пространства над одним и тем же телом . Для того, чтобы отображение ℰ было аффинным, необходимо и достаточно, чтобы