Быстрый поиск

Реферат: Структура аффинного пространства над телом

;

b) при образ эквибарицентра любых трех точек ℰ был эквибарицентром их образов.

Доказательство (аналогичное случаю теоремы 4.8.).

a) При фиксированной точке ℰ соотношение a) показывает, что для любого вектора направляющего пространства имеем

Отображение удовлетворяет, следовательно, условию .

Чтобы доказать, что выполняется и условие для любых , выберем такие , что , и , определим точки , условиями , . Применяя условие a), получим тогда ,

откуда

Можно также сформулировать теорему 5.4. так: отображение ℰ в является аффинным тогда и только тогда, когда его ограничение на любую аффинную прямую в ℰ аффинно.

В дальнейшем мы дадим чисто геометрическую характеристику полуаффинных отображений.

Неподвижные точки аффинных и полуаффинных отображений.

Теорема 5.5. Если - полуаффинное отображение и множество его неподвижных точек не пусто, то оно является ЛАМ с направляющим множеством , состоящим из неподвижных элементов отображения .

С другой стороны, если конечномерно и не имеет других неподвижных элементов, кроме 0, то имеет единственную неподвижную точку.

Доказательство. Если фиксировать точку , условие равносильно и, значит, условию где

· Если - неподвижная точка то равносильно откуда вытекает первое утверждение.

· Если , то отображение инъективно и потому в случае конечной размерности биективно; в существует единственная точка такая, что откуда следует второе утверждение.

Важное замечание. Если - произвольное отображение и - биекция, то

Это общее замечание особенно полезно в случае аффинных отображений.

Аффинные и полуаффинные группы.

Если и - два аффинных (соотв. полуаффинных) отображения, то также есть аффинное (соотв. полуаффинное) отображение и Отсюда выводится

Теорема 5.6. Пусть - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством Аффинные (соотв. полуаффинные) биекции на образуют группу, которую мы обозначаем (соотв. ). Отображение (линейная или полулинейная часть) есть гомоморфизм на и на группу полулинейных биекций на .

Наконец, для любой точки в ограничение на группу изотропии точки в (соотв. ) является изоморфизмом этой группы на (соотв. ).

Последнее утверждение получим, выбирая в качестве начала в .

Следствие. Если подгруппа в (соотв. в ), то есть подгруппа в (соотв. в ); при этом если инвариантная подгруппа, то такова же и .

В частности, если то есть инвариантная подгруппа в , образованная трансляциями.

Если то есть инвариантная подгруппа в , образованная трансляциям и центральными симметриями.

Если инвариантная подгруппа группы , образованная векторными гомотетиями, то есть инвариантная подгруппа в , называемая группой дилатаций.

Пусть дилатация, не сводящаяся к трансляции; тогда векторная гомотетия вида где В этом случае имеет единственную неподвижную точку определяемую из условия где произвольная точка . Таким образом, выражается как Такое отображение называется гомотетией с центром и коэффициентом

Сформулируем

Предложение 5.7. Трансляции и гомотетии составляют инвариантную подгруппу группы , называемую группой дилатаций . Мы обозначаем ее .

Если основное тело коммутативно, то группа является инвариантной подгруппой группы .

Проектирования

Назовем проектированием любое аффинное отображение пространства в себя, удовлетворяющее условию

Рис. 2

Для такого отображения любая точка является неподвижной; принимая такую точку за начало, мы приходим к случаю проектирования для векторного пространства . Отсюда вытекает существование таких отображений, а также следующая их геометрическая характеризация:

Предложение 5.8. Отображение является проектированием, если существует ВПП пространства и ЛАМ в с направляющим подпространством дополнительным к , такие, что для любой точки ее образ есть точка пересечения с ЛАМ, проходящим через с направлением (рис. 2).

Аффинные симметрии

Теорема 5.9. Пусть - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством над телом характеристики .

Для того, чтобы аффинное отображение было инволютивным, необходимо и достаточно, чтобы оно имело по меньшей мере одну неподвижную точку и чтобы его линейная часть была векторной симметрией

Такое отображение называется аффинной симметрией.

Доказательство. Если и , то образом середины отрезка будет середина отрезка таким образом, эта точка инвариантна при отображении и, выбрав ее за начало, мы сведем дело к векторному случаю.

Предложение 5.10. Отображение является аффинной симметрией, если существуют ВПП пространства и ЛАМ с направлением, дополнительным к такие, что для любой точки (см.рис.2)

1).

2). Середина принадлежит .

Если сводится к одной точке то и есть центральная симметрия с центром

Теорема Фалеса

Пусть по-прежнему есть ВПП в и - два аффинных пространства в , направляющие которых соответственно дополнительны к Обозначим через (соотв. ) ограничение проектирования на (соотв.) параллельно Тогда, как легко видеть, является аффинной биекцией на , обратная к которой есть . Образ точки определяется условиями и (см. рис. 3).