Быстрый поиск

Реферат: Структура аффинного пространства над телом

a) для каждого ℰ отображение ℰ, биективно;

b) для любых точек из ℰ выполнено соотношение Шаля

Заметим, что из этих условий следует, что для любой точки ℰ мы имеем .

От определения 2.3. к определению 2.2. можно перейти, обозначив через единственную точку , такую, что , и заметив, что соотношение Шаля равносильно . Переход от определения 2.2. к определению 2.1. непосредственно ясен.

Из какого бы определения мы ни исходили, существенным остается тот факт, что для любой точки ℰ отображение ℰ, есть биекция; эта биекция позволяет перенести на ℰ векторную структуру .

Обозначения. Полученная таким путем векторная структура на ℰ будет называться векторной структурой с началом ; множество ℰ с этой структурой будет обозначаться ℰA.

Говоря нестрого, аффинное пространство выглядит как векторное пространство, начальный (нейтральный) элемент которого еще не выбран. Аффинные свойства ℰ- это те свойства векторного пространства ℰA, которые не зависят от выбора точки .

Таким образом, можно было бы, пренебрегая аффинной структурой, свести все задачи аффинной геометрии к задачам векторного характера путем выбора начальной точки; так и делается в математическом обиходе. Но больше в духе ”внутреннего” исследования была бы работа без выбора начальной точки, позволяя яснее представить именно аффинные свойства ℰ. Так мы и поступим, не забывая при этом, что введение векторной структуры с надлежащим выбором начальной точки часто проясняет дело.

Размерность аффинного пространства

Пусть ℰ- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством . По определению, размерность ℰ равна размерности .

В частности, любое одноточечное множество допускает единственную аффинную структуру размерности , ассоциированную с нулевым векторным пространством.

Аффинные подпространства

(Линейные аффинные многообразия)

Пусть ℰ- аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством . Каждое векторное подпространство пространства образует подгруппу группы , действующую на ℰ трансляциями. По определению, орбиты действия на ℰ называются линейными аффинными многообразиями (сокращенно ЛАМ) с направлением . Группа , действующая просто транзитивно на каждой из этих орбит определяет тем самым на каждой из них аффинную структуру, ассоциированную с ; поэтому мы называем эти орбиты (ЛАМ) также аффинными подпространствами в ℰ.

Если есть ЛАМ с направляющим подпространством и - точка , то допускает структуру векторного пространства с началом и есть векторное подпространство в ℰA. Обратно, любое ВПП пространства ℰA есть ЛАМ, проходящее через ; сформулируем

Предложение 3.1. Аффинные подпространства в ℰ, проходящие через точку , суть векторные подпространства векторного пространства ℰA.

Это краткое рассмотрение показывает, что направление ЛАМ пространства ℰ полностью определяется заданием множества точек .

Другие определения.

Предложение 3.1. показывает, что данное выше определение эквивалентно следующему элементарному определению:

Определение 3.1. Непустое подмножество аффинного пространства ℰ называется линейным аффинным многообразием, если в существует точка , такая, что является векторным подпространством в .

Приняв определение 3.1., можно непосредственно установить следующее

Предложение 3.2. Пусть - непустое подмножество в ℰ и - точка , такая, что есть векторное подпространство в . Тогда для любой точки из множество совпадает с .

Доказательство. есть множество векторов , где ; таким образом, есть образ при биекции , , и поскольку , то .

Установив это, легко убедиться, что наделено структурой аффинного пространства, ассоциированного с векторным пространством , которое не зависит от точки .

Вместо того, чтобы исходить из векторной структуры , можно использовать отношение эквивалентности, связанное с действием на : ЛАМ суть классы эквивалентности для этого отношения, и мы приходим к следующему равносильному определению:

Определение 3.2. Пусть - векторное подпространство в и - отношение эквивалентности, определяемое на ℰ с помощью

;

аффинными многообразиями с направлением называются классы эквивалентности по отношению .

Существуют и другие способы определить ЛАМ пространства ℰ, но нам кажется, что данные выше определения ведут к наиболее простому способу изложения дальнейшего.

Случай векторного пространства.

Каждое векторное пространство канонически снабжено аффинной структурой, так как действует на себе трансляциями; в этом случае нулевой вектор называется также ”началом” и

ЛАМ пространства , проходящие через , суть векторные подпространства в ; ЛАМ, проходящие через точку , суть образы векторных подпространств при параллельном переносе .

Ради кратности ЛАМ, не проходящие через начало, будут называться собственно аффинными (поскольку они не являются ВПП в ).

Размерность линейного аффинного многообразия

Вернемся к случаю произвольного аффинного пространства ℰ; предшествующие рассмотрения позволяют определить размерность ЛАМ как размерность его направляющего ВПП. Отсюда появляются понятия: аффинной прямой (ЛАМ размерности 1) и аффинной плоскости (ЛАМ размерности 2). ЛАМ размерности суть точки ℰ.

Аффинной гиперплоскостью называется ЛАМ, направляющее подпространство которого есть векторная гиперплоскость.

Пересечение линейных аффинных многообразий

Предложение 3. 3. Пусть - семейство аффинных подпространств в ℰ и для каждого - направляющее подпространство для .

Если пересечение непусто, то оно является аффинным подпространством в с направляющим .

Доказательство сразу получается из определения 3.1. При тех же обозначениях имеет место

Предложение 3.4. Для того, чтобы пересечение двух ЛАМ в ℰ было непустым, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие точки и , что , и тогда

Доказательство. Если , то для любых , имеем и . Таким образом, .

Обратно, если существуют и , такие, что , то можно представить в виде , где , . Тогда точка , определяемая условием , принадлежит и, как легко видеть, . Это доказывает, что принадлежит также , а тем самым не пусто.

Из предложения 3.4. можно получить примеры ЛАМ с пустым пересечением, а также

Предложение 3.5. Если , - аффинные подпространства в ℰ, направляющие которых взаимно дополняют друг друга в , то и имеют единственную общую точку.

Параллелизм

Определение 3.3. Говорят, что два линейных аффинных многообразий , вполне параллельны, если они имеют одно и то же направляющее подпространство: .

Более общо, говорят, что параллельно , если направляющие пространства , многообразий , удовлетворяют включению .

Можно проверить, что отношение ” вполне параллельно (соответственно параллельно) ” равносильно существованию трансляции пространства ℰ, такой, что (соответственно ).