Быстрый поиск

Реферат: Структура аффинного пространства над телом

Аффинное подпространство, порожденное подмножеством пространства ℰ

Предположение 3.6. Если - непустое подмножество в ℰ, то существует единственное аффинное подпространство в ℰ, обозначаемое , содержащее и обладающее следующим свойством:

Любое аффинное подпространство ℰ, содержащее , содержит и .

Говорят, что порождено .

Коротким способом доказательства предложения 3.6. является применение предложения 3.3.: есть пересечение всех ЛАМ, содержащих . Недостаток этого рассуждения в том, что приходится привлекать семейство ”всех ЛАМ, содержащих ”, о котором мало что известно и которое обычно даже несчетно!

Более элементарный и конструктивный способ состоит в выборе в начальной точки , что сводит задачу к отысканию наименьшего векторного подпространства в ℰA, содержащего (поскольку ЛАМ, содержащее , являются ВПП в ℰ). Таким образом, есть ВПП в ℰA, порожденное ; при этом сам характер задачи показывает, что это ВПП не зависит от выбора точки в . Если мы заметим, что направляющее подпространство для есть ВПП в , порожденное векторами , то получим также

Предложение 3.7. Пусть - непустое подмножество в ℰ; для каждой точки положим . Тогда векторное пространство не зависит от выбора и есть ЛАМ, проходящее через с направлением .

Можно дать прямое доказательство этого утверждения, аналогичное доказательству предложения 3.2.

В частности, если - конечное множество, то векторное пространство не зависит от и, следовательно, совпадает с

и .

Отсюда вытекает

Предложение 3.8. Размерность аффинного подпространства, порожденного точками пространства ℰ не превосходит ; его размерность равна тогда и только тогда, когда векторов () образуют свободное семейство.

Другие свойства ЛАМ изучаются в связи с понятием барицентра.

Барицентры: приложения к изучению аффинных подпространств

В последующем ℰ всегда обозначает аффинное пространство, ассоциированное с левым векторным пространством над, вообще говоря, некоммутативным телом . ”Взвешенной точкой” называется элемент ℰ.

Теорема 4.1. Для каждого конечного семейства (системы) взвешенных точек, такого, что , существует единственная точка , удовлетворяющая любому (а тогда и двум остальным) из следующих трех условий a), b), c):

a) ,

b) ℰ ,

c) ℰ .

Эта точка называется барицентром (центром тяжести) системы . Мы обозначим ее .

Эквивалентность трех условий легко устанавливается с помощью соотношения Шаля.

Свойства. a) Однородность (слева).

Предложение 4.2. Для любого имеем

b) Ассоциативность.

Предложение 4.3. Пусть - разбиение , т.е. совокупность непустых попарно непересекающихся подмножеств , таких, что .

Если для любого скаляр отличен от нуля и мы положим , то

Доказательства получаются непосредственно

Замечания. По определению 4.2. можно всегда привести дело к случаю, когда ”полная масса” системы , т.е. равна 1. В этом и только в этом случае можно положить

Для успешного использования этого обозначения следует заметить, что соотношение равносильно каждому из следующих утверждений:

и ℰ , (1)

ℰ , (2)

так как (2) влечет за собой (1).

Эквибарицентром конечного подмножества пространства ℰ называется точка . Она существует только тогда, когда характеристика не является делителем числа .

Следующее утверждение показывает, что отыскание барицентра сводится, за некоторыми исключениями, к последовательному построению барицентров пар точек.

Предложение 4.4. Пусть - конечное семейство взвешенных точек, таких, что для всех , и .

Если характеристика отлична от 2, то существует разбиение множества , такое, что

и .

Доказательство. Если одна из сумм отлична от нуля, то достаточно положить и .

Если все суммы равны нулю, то все равны одному и тому же элементу , такому, что , где .

Если характеристика отлична от 2, то , и, поскольку не равно нулю, получим искомое разбиение, выбирая как двухэлементное подмножество, а как подмножество из элементов.

Следствие. Если характеристика не равна 2, то построение барицентра точек приводится к последовательному построению барицентров пар.

Приложения к линейным аффинным многообразиям

Теорема 4.5. Если - непустое подмножество в ℰ, то есть множество барицентров конечных семейств взвешенных точек с носителями в .

Доказательство. Уточним сначала, что под носителем семейства понимается множество .

Условившись об этом, выберем некоторую точку в . Барицентры семейства с носителями в суть точки , удовлетворяющие соотношению вида

, (3)

где и . При этом соотношение (3) влечет за собой и поэтому (см. предложение 3.7). Обратно, если - точка из , то найдутся точки , принадлежащие , и скаляры ( с суммой, необязательно равной 1), такие, что ; это соотношение также записывается в виде

с и ;

таким образом, есть барицентр системы с носителем в .

Определение 4.1. Подмножество ℰ называется аффинно порождающим ℰ, если ℰ; оно называется аффинно свободным, если любая любая точка из единственным образом представляется в виде

, где и при любом .

Множество, одновременно аффинно свободное и аффинно порождающее, называется аффинным репером.

Выбирая начало в и пологая , легко видеть, что аффинно свободное (соответственно аффинно порождающее) тогда и только тогда, когда свободное (соответственно множество образующих). (Напомним, что не зависит от выбора .) Отсюда вытекает

Предложение 4.6. Для того, чтобы подмножество пространства ℰ было аффинно порождающим, необходимо и достаточно, чтобы не содержалось ни в какой аффинной гиперплоскости в ℰ.