Курсовая работа: Локальные формации с метаабелевыми группами

Доказательство. Повторяем с очевидными изменениями доказательство теоремы 3.

Теорема Слепова 7 Пусть  – максимальный внутренний локальный экран формации . Формация  -замкнута (слабо -замкнута, ) тогда и только тогда, когда для любого простого  формация  -замкнута (соответственно слабо -замкнута).

Доказательство. Достаточность вытекает из теорем 3 и 6. Пусть  -замкнута (слабо -замкнута, ). Пусть , где  – нормальные -подгруппы (нормальные -подгруппы с попарно взаимно простыми индексами). Так как , то . Покажем, что .

Пусть , где ,  – элементарная абелева -группа. По лемме 3.11 Ошибка!  для любого . Так как  -замкнута (слабо -замкнута), то отсюда вытекает, что . Если  – пересечение централизаторов в  всех -главных факторов группы , то

Так как , то по лемме 3.10  подгруппа  является -группой. Но тогда , так как по теореме 3.3  имеет место равенство .

Теорема доказана.

Лемма Чунихин 8 Пусть , , . Тогда . В частности, если  и , то  непростая.

Доказательство. Из равенства  следует, что

Следовательно, . Отсюда, ввиду  для любого , получаем . Лемма доказана.

Теорема Виландт 9 Группа  разрешима, если она имеет три разрешимые подгруппы, индексы которых в  попарно взаимно просты.

Доказательство. Пусть группа  имеет разрешимые подгруппы ,  и  с попарно взаимно простыми индексами. Тогда . Пусть  – минимальная нормальная подгруппа из . Так как  разрешима, то ,  – простое число. Ввиду условия теоремы,  не делит одновременно  и . Пусть, для определенности,  не делит . Это значит, что силовская -подгруппа из  является силовской -подгруппой группы . Ввиду теоремы Силова , где . Так как  и , то по лемме 8 . Таким образом,  – неединичная разрешимая нормальная подгруппа группы . В фактор-группе  индексы подгрупп ,  и  попарно взаимно просты. По индукции  разрешима, но тогда и  разрешима. Теорема доказана.

Следуя Крамеру, введем следующее определение.

Определение. Класс групп  называется -замкнутым ( – натуральное число), если  содержит всякую группу , имеющую  -подгрупп, индексы которых в  при  попарно взаимно просты.

По определению, пустая формация -замкнута для любого . Единственной -замкнутой непустой формацией, отличной от , условимся считать .

Лемма 10 Пусть  и  – -замкнутые классы групп. Тогда  также -замкнут.

Доказательство очевидно.

Следующая лемма доказана Крамером.

Лемма 11 Пусть формация  содержится в  и -замкнута, . Тогда формация  является -замкнутой.

Доказательство. Пусть группа  имеет -подгруппы , ,…, , индексы которых в  попарно взаимно просты. Так как , то по теореме 9 группа  разрешима. При любом гомоморфизме группы  образы подгруппы  принадлежат  и имеют попарно взаимно простые индексы. Поэтому можно считать, что -корадикал  группы  является ее единственной минимальной нормальной подгруппой. Ясно, что  является -группой для некоторого . Подгруппа Фиттинга  группы  также является -группой. Индекс любой подгруппы, не содержащей , делится на . Поэтому  содержится по крайней мере в  подгруппах нашей системы подгрупп . Будем считать, что , . Так как  является -группой, то  и  поэлементно перестановочны, . Отсюда и из следствия Ошибка! вытекает, что , . Так как , то мы получаем, что , . Воспользовавшись -замкнутостью формации , мы приходим к тому, что .

Лемма доказана.

Теорема Крамер 12 Пусть  – такой локальный -экран формации , что для любого простого  формация  -замкнута, . Тогда  -зaмкнута.

Доказательство. Так как  – -экран, то  для любого простого , а значит, . Пусть . Ввиду леммы 4.5 Ошибка! . Если , то  и  -замкнута; если же , то по лемме  формация  -замкнута. В любом случае  -замкнута. По лемме   -замкнута. Применяя лемму 10, мы видим, что и формация  -замкнута. Теорема доказана.

Так как формация  имеет единичный экран, удовлетворяющий условию теоремы 12 при , то мы получаем

Следствие Кегель 13 Группа  нилъпотентна, если она имеет три нилъпотентные подгруппы, индексы которых в  попарно взаимно просты.

Этот факт вытекает также и из следующего результата Кегеля.

Лемма 14 Класс всех -замкнутых групп -замкнут.

Доказательство такое же, как и у теоремы 9.

Лемма 15 Каждая формация нилъпотентных групп является -замкнутой.

Доказательство. Пусть   некоторая формация нильпотентных групп. Пусть группа  имеет -подгруппы ,  и  с попарно взаимно простыми индексами. Тогда по следствию 13 группа  нильпотентна. Если  – наивысшая степень простого числа , делящая , то  делит  для некоторого , так как  не может делить одновременно индексы всех подгрупп ,  и . Если  делит , то силовская -подгруппа  из  входит в  и является силовской -подгруппой группы . Тем самым показано, что все силовские подгруппы нильпотентной группы  являются -группами. Так как  – формация, то отсюда следует, что .

Лемма доказана.

Лемма 16 Пусть  – некоторый -замкнутый гомоморф -замкнутых групп. Тогда класс  -замкнут.

Доказательство. Пусть группа  имеет -подгруппы ,  и  с попарно взаимно простыми индексами. По лемме 14  имеет нормальную силовскую -подгруппу . Поскольку  является силовской -подгруппой в  и  – гомоморф, то . В группе  индексы подгрупп ,  и  попарно взаимно просты. Поэтому ввиду -замкнутости  имеем . Лемма доказана.

Лемма 17 Для любого простого  и любой формации нильпотентных групп  класс  является -замкнутой формацией.

Доказательство. По лемме 15 класс  -замкнут. По лемме 16 класс  -замкнут и по теореме 1.1 Ошибка! является формацией.

Теорема 18 Пусть  – локальная подформация формации ,  – максимальный внутренний локальный экран формации . Если для любого простого  формация  -замкнута, , то  -замкнута.

Доказательство. Пусть . Ввиду теоремы 3.3 Ошибка! и леммы 4.5 Ошибка!, . Формация  -замкнута. По лемме 10 формация  -замкнута. Теорема доказана.

Теорема Крамер 19 Любая локальная подформация формации  является -замкнутой.

Доказательство. Пусть   локальная подформация формации .  имеет внутренний локальный -экран . Пусть  – максимальный внутренний локальный экран формации . Тогда по теореме 3.3  для любого простого  имеет место равенство . Так как , то по лемме 17 формация  -замкнута. Тогда по теореме 18 формация  -замкнута. Теорема доказана.

Следствие Дрк 20 Пусть группа  имеет четыре сверхразрешимые подгруппы, индексы которых в  попарно взаимно просты. Тогда  сверхразрешима.

Заключение

В данной курсовой работе мы дали определение формации, произведения формаций, а также операций на классах групп. Познакомились с понятием экрана, радикального и корадикального классов. В работе рассмотрели ситуацию: конечные разрешимые группы с нормальной максимальной подгруппой, принадлежащей локальной формации  формации  всех групп с нильпотентным коммутантом. Рассматривали только конечные и разрешимые группы.

Теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца, вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления-теории формаций.

Литература

1 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1977.

2 Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. – М.:Наука, 1969.

3 Чунихин С.А. О -свойствах конечных групп. – Матем. сб., 1949, 25, №3, с. 321 – 346.

4 Шеметков Л.А. Формация конечных групп. – М. «Наука», 1978.