Быстрый поиск

Курсовая работа: Локальные формации с метаабелевыми группами

Определение 2.2. Класс называется замкнутым относительно операции или, более коротко, - замкнутым, если

Формацию можно определить теперь как класс групп, который одновременно -замкнут и -замкнут. -замкнутый класс согласно Гашюцу [3] называется насыщенным. -замкнутый класс групп называется гомоморфом. Класс групп называется замкнутым относительно подгрупп (нормальных подгрупп), если он -замкнут (соответственно -замкнут).

Лемма 2.1. . Если класс групп содержит единичную группу и -замкнут, то

Доказательство. Относительно операций и утверждение очевидно. Пусть – произвольный класс групп. Ясно, что Если , то в найдется нормальная подгруппа такая, что . Группа имеет нормальную подгруппу такую, что и Но тогда Так как , то , а значит, Таким образом, , что и требуется.

Пусть . Если , то имеет нормальную -подгруппу такую, что Группа имеет нормальную -подгруппу такую, что . Так как и , то из -замкнутости класса следует, что . Значит, , т.е. . Обратное включение очевидно.

Лемма 2.2. Для любого класса справедливо следующее утверждение:

Доказательство. Если , то Пусть Если , то , а значит, . Таким образом, . Пусть . Тогда имеет такие нормальные подгруппы , что Группа имеет такие нормальные подгруппы , что Так как , то , что и доказывает равенство

Лемма 2.3. Для любого класса имеет место включение

Доказательство. Если , то . Пусть и группа является подпрямым произведением групп , где . Рассмотрим функцию . Функция является гомоморфизмом группы в группу . Ясно, что

есть подпрямое произведение групп , причем . Следовательно, , и лемма доказана.

Лемма 2.4.

В работе Фишера, Гашюца и Хартли [1] введено следующее понятие, в некотором смысле двойственное определению формации.

Определение 2.3. Класс групп называется классом Фиттинга, если он одновременно -замкнут и -замкнут.

Класс Фиттинга мы будем в дальнейшем называть иначе радикальным классом. Ввиду двойственности (нормальная подгруппа – фактор-группа) формацию можно было бы назвать корадикальным классом.

Определение 2.4. Пусть непустой -замкнутый класс, содержащий 1. Обозначим через и назовем - радикалом группы произведение всех ее нормальных -подгрупп.

Классы являются радикальными. -радикал группы – это ее подгруппа Фиттинга -радикал обозначают иначе через и называют -радикалом. -радикал называют разрешимым радикалом; понятны также термины -нильпотентный радикал, -замкнутый радикал и т.д. Класс всех -нильпотентных групп является одновременно радикальным и корадикальным; – это -нильпотентный радикал группы .

В дальнейшем мы будем изучать формации, замкнутые относительно тех или иных операций; в частности, будут рассматриваться радикальные формации, т.е. формации, являющиеся одновременно и классами Фиттинга. Сейчас мы обратимся к задаче построение формаций с помощью операций

Теорема 2.1. Пусть и – формации, причем либо , либо замкнута относительно нормальных подгрупп. Тогда формация, совпадающая с произведением

Определение 2.5. Пусть некоторое множество групп. Пусть пересечение всех тех формаций, которые содержат класс называется формацией, порожденной множеством групп

Заметим, что операцию часто обозначают иначе через Если то пишут вместо , причем в этом случае называют формацией, порожденной группой .

Теорема 2.2. Для любого класса имеет место равенство:

Доказательство. Если , то , и утверждение верно. Пусть . Так как , то класс является -замкнутым. есть класс и по лемме 2.2. Используя это и леммы 2.3 и 2.4, получаем

Последнее означает -замкнутость класса . Итак, – формация, содержащая , так как . Значит, . Обратное включение очевидно.

Лемма 2.5. Для любых элементов группы выполняются равенства Если – подгруппы группы , то выполняются следующие утверждения:

2) для любого гомоморфизма группы ; в частности, если группа из нормализует и , то нормализует и

Лемма 2.6 Пусть подгруппа нильпотентной группы , причем . Тогда

Доказательство. Для того чтобы доказать лемму, достаточно установить, что при любом натуральном выполняется включение:

При это верно, так как , а значит, . Предположим, что включение (*) справедливо при некотором . Тогда, используя лемму 2.5, получаем

Тем самым (*) доказано.

Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]). Если – такая подгруппа группы , что , то

Доказательство. Пусть нильпотентная нормальная подгруппа группы , а – такая подгруппа из , что . Докажем индукцией по , что . Это верно, если . Поэтому будем считать, что . Рассмотрим следующие подгруппы прямого произведения