Быстрый поиск

Курсовая работа: Локальные формации с метаабелевыми группами

Лемма 3.5. является непустой формацией для любой групповой функции .

Определение 3.3. Пусть некоторая формация. Если – такой экран, что , то формация называется ступенчатой формацией, причем в этом случае будем говорить, что

экран формации ,

имеет экран ,

экран определяет формацию ,

определяется экраном .

Формация имеет единичный экран. Единичная формация имеет пустой экран.

Определение 3.4. Экран назовем внутреним, если – внутреняя групповая функция, т.е. для любой неединичной группы .

Лемма 3.6. Каждая ступенчатая формация имеет по крайней мере один внутрений экран.

Доказательство. Пусть – экран формации . Определим функцию следующим образом: для любой группы . Легко видеть, что – экран, причем . Если и – главный фактор группы , то . Так как класс -замкнут, то , а значит, -централен в . Таким образом, . Итак, , т.е. – искомый внутренний экран.

Лемма 3.7. Пусть – экран формации . Тогда является экраном формации .

Доказательство. Пусть произвольный главный фактор группы . Пусть . Так как , то . Значит, , т.е. -централен в . Отсюда следует, что .

Обратно, если , то главный ряд группы будет -центральным для любого , т.е. . Итак, .

Лемма 3.8. Пересечение любого непустого множества экранов формации снова является экраном формации . Кроме того, если в имеется хотя бы один внутрений экран, то – внутрений экран.

Доказательство. То, что – экран формации , непосредственно следует из леммы 3.7. Пусть в имеется внутренний экран . Тогда для любой группы . Значит, – внутренний экран.

Формация с однородным экраном

Теорема 3.1. (Шеметков) Всякая формация, имеющая по крайней мере один однородный экран, является локальной формацией.

Доказательство. Пусть формация имеет однородный экран. Ввиду леммы 3.6 формация имеет внутренний однородный экран . Построим локальный экран , удовлетворяющий следующему условию: для любого простого . Тогда и, следовательно, . Предположим, что формация обладает группами, не входящими в , и выберем среди всех таких групп группу , имеющую наименьший порядок. Тогда является единственной минимальной нормальной подгруппой группы . Так как , то для любого имеет место

Если неабелева, то и . Если же – -группа, то получается, что -центральна в . А это противоречит тому, что . Теорема доказана.

Локальная формация

Неединичная формация, имеющая локальный экран, содержит некоторые неединичные примарные группы.

Определение 4.1. Формация называется локальной, если она имеет хотя бы один локальный экран.

Определение 4.2. Пусть внутренний локальный экран формации , являющийся максимальным элементом множества всех внутренних локальных экранов формации . Тогда называется максимальным внутренним локальным экраном формации .

Теорема 4.1. (Картер и Хоукс [1], Шмид [5]). Локальная формация имеет единственный максимальный внутренний локальный экран , причем удовлетворяет следующему условию: для любого простого числа p.

Определение 4.3. Пусть локальная формация. Минимальный элемент множества всех локальных экранов формации назавем минимальным локальным экраном формации .

Теорема 4.2. Локальная формация имеет единственный минимальный локальный экран, который является к тому же внутренним экраном.

Доказательство. Пусть множество всех локальных экранов формации , причем . Обозначим через пересечение множества экранов . В множестве имеется внутренний экран, поэтому – внутренний экран формации . По лемме 3.4 экран является локальным. Ввиду леммы 3.8 – искомый экран.

Построение локальных формаций

1. Формация всех групп. Формация обладает локальным экраном таким, что для любого простого .

2. Формация единичных групп. Формация имеет пустой экран, который, очевидно, локален.

3. Формация нильпотентных -групп. Пусть – формация всех нильпотентных -групп, – такой локальный экран, что для любого для любого . Очевидно, – минимальный локальный экран формации .

4. Формация -групп. Пусть – формация всех -групп, – такой локальный экран, что для любого для любого . Очевидно, – макcимальный внутрений локальный экран формации .

5. Формация -нильпотентных групп. Пусть – формация всех -нильпотентных групп ( – фиксированное простое число), – такой локальный экран, что для любого простого числа , отличного от . Покажем, что – экран формации . Главный ряд -нильпотентной группы -централен. Пусть . Нужно установить, что -нильпотентна. Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы . По индукции -нильпотентна. Если – -группа, то отсюда следует, что и -нильпотентна. Если же -группа, то , т.е. . Если теперь – -подгруппа из , то ввиду подгруппа -нильпотентна, а значит, и -нильпотентна. Тем самым показано, что .