Курсовая работа: Локальные формации с метаабелевыми группами

Доказательство. Будем доказывать оба утверждения одновременно. Пусть  – одна из операций , . Предположим, что . Пусть  – (нормальная) подгруппа группы  и . Рассмотрим регулярное сплетение , где ,  – элементарная абелева -группа. По лемме 3.11 Ошибка! . Так как , то . Рассмотрим главный ряд группы :

Пусть . Так как  и , то

для любого . Следовательно, , где . По свойству регулярного сплетения . Следовательно, , и по лемме 3.10 (Ошибка!) подгруппа  является -группой. Так как  и формация  является по теореме 3.3 Ошибка! -замкнутой, то мы получаем, что . Теорема доказана.

Теорема Подуфалова, Слепова 2 Пусть  – максимальный внутренний локальный экран формации . Формация  -замкнута (-замкнута) тогда и только тогда, когда для любого простого  формация  -замкнута (соответственно -замкнута).

Доказательство. Необходимость. Предположим, что  -замкнута (-замкнута). Полагая  и применяя теорему 1, мы получаем, что  -замкнута (-замкнута) для любого простого .

Достаточность. Пусть для любого простого  формация  является -замкнутой (-замкнутой). Пусть  – подгруппа (нормальная подгруппа) неединичной группы . Покажем, что . Так как , то  обладает -центральным главным рядом

Пусть . Так как

то , где . Пусть . По условию  и . Отсюда, ввиду , вытекает, что . Тем самым установлено, что ряд

является -центральным рядом группы . Теорема доказана.

Для любого натурального числа  -замкнутый класс  содержит, по определению, каждую группу , представимую в виде произведения  нормальных -подгрупп. Ослабляя это требование, мы приходим к следующему определению.

Определение. Класс групп  назовем слабо -замкнутым, , если  содержит всякую группу , имеющую  нормальных -подгрупп с попарно взаимно простыми индексами.

Легко заметить, что если  и  – подгруппы группы  причем  и  взаимно просты, то .

Теорема Слепова 3 Пусть  – локальный экран формации  и пусть для некоторого натурального числа  выполняется следующее условие: для любого простого  формация  либо совпадает с , либо входит в  и является слабо -замкнутой. Тогда  слабо -замкнута.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют группы, не входящие в , но имеющие  нормальных -подгрупп с попарно взаимно простыми индексами. Выберем среди всех таких групп группу  наименьшего порядка. Таким образом,  не принадлежит , но имеет нормальные -подгруппы  с попарно взаимно простыми индексами. Ясно, что все подгруппы  неединичны.

Пусть  – минимальная нормальная подгруппа группы . В  подгруппы  имеют попарно взаимно простые индексы и принадлежат . Так как для  теорема верна, то . Ясно, что  – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем  и  для любого . Ввиду теоремы 4.3 . Так как , то найдется такое , что . Рассмотрим , где  пробегает все -главные факторы группы . Так как , то , . Возможны два случая.

Случай 1. Пусть . Тогда  неабелева и . Отсюда и из единственности  вытекает, что . Но тогда  и, следовательно,  можно рассматривать как некоторую группу автомор – физмов группы , действующую тождественно на всех -главных факторах группы . По хорошо известной теореме Ф. Холла  нильпотентна. Так как  к тому же нормальна в , то . Но тогда  для любого , а так как формация  слабо -замкнута по условию, то . Но тогда , так как  и по условию . Получили противоречие.

Случай 2. Пусть . Тогда  входит в  и является -группой. Так как , то  абелева. Пусть  – максимальная подгруппа группы , не содержащая . Тогда , , , . Отсюда, ввиду единственности , заключаем, что , a значит, . По лемме 3.10  является -группой. Но тогда и  является -группой, причем . Мы получаем, таким образом, что  для любого . Но тогда , так как  слабо -замкнута. Последнее означает, что  -центральна в , что противоречит равенству . Снова получили противоречие.

Теорема доказана.

Следствие 4 Пусть группа  имеет две нормальные -сверхразрешимые подгруппы, индексы которых взаимно просты. Тогда  -сверхразрешима.

Для того чтобы получить это следствие, достаточно заметить, что построенный экран удовлетворяет условию теоремы 3 при .

Следствие 5 Пусть группа  имеет две нормальные сверхразрешимые подгруппы, индексы которых взаимно просты. Тогда  сверхразрешима.

Теорема Слепова 6 Пусть формация  имеет такой локальный экран , что для любого простого  формация  либо совпадает с , либо входит в  и является -замкнутой. Тогда  -замкнута.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7