Быстрый поиск

Курсовая работа: Локальные формации с метаабелевыми группами

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

математический факультет

кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

"Локальные формации с метаабелевыми группами"

ГОМЕЛЬ 2006

Содержание

Введение

1 Формация. Произведение формаций

2 Операции на классах групп

3 Экраны

3.1 Экраны формации

3.2 Формация с однородным экраном

4 Локальная формация

5 Построение локальных формаций

6 Локальные формации с заданными свойствами

Заключение

Литература

Введение

Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп.

В курсовой работе рассматривается произведение формаций, операции на классах групп, приводящие к формациям. Рассматриваются локальные формации и экраны. Рассматриваются простейшие свойства локальной формации всех групп с нильпотентным компонентом.

Формация. Произведение формаций

Определение 1.1 Классом групп называют всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, изоморфные .

Если группа (подгруппа) принадлежат классу , то она называется -группой (-подгруппой).

Определение 1.2. Класс групп называется формацией, если выполняются следующие условия:

1) каждая фактор-группа любой группы из также принадлежит ;

2) из всегда следует .

Если формации и таковы, что , то называется подформацией формации .

По определению, пустое множество является формацией (пустая формация). Множество всех групп является, конечно, формацией. Единичная формация – это непустой класс групп, состоящий лишь из единичных групп. Формациями являются: класс всех -групп, класс всех абелевых групп, класс всех нильпотентных групп, класс всех -групп ( – фиксированное простое число), класс всех нильпотентных -групп, класс всех разрешимых групп, класс всех разрешимых -групп. Мы привели пока лишь примеры тех формаций, за которыми закреплены соответствующие обозначения.

Лемма 1.1. Справедливы следующие утверждения:

1) пересечение любого множества формаций также является формацией;

2) если – некоторое множество формаций, линейно упорядоченное относительно включения , то объединение является формацией.

Доказательство осуществляется проверкой.

Определение 1.3. Пусть непустая формация. Обозначим через и назавем - корадикалом группы пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых .

Очевидно, -корадикал любой группы является характеристической подгруппой. -корадикал группы обозначают иначе через и называют -корадикалом. -корадикал будем называть нильпотентным радикалом; понятны также термины разрешимый корадикал, -разрешимый корадикал, - сверхразрешимый корадикал и т.д. -корадикал (или абелев корадикал) – это коммутант группы. Так же как и коммутант, -корадикал сохраняется при гомоморфизмах.

Лемма 1.2. Пусть непустая формация, . Тогда справедливы следующие утверждения:

2) если то

3) если и , то

Доказательство. Пусть . Тогда

Отсюда следует, что . С другой стороны,

откуда получаем . Из и следует равенство . Утверждение 1) доказано.

Пусть – естественный гомоморфизм группы на Очевидно,

откуда следует равенство . В частности, если , то . Лемма доказана.

Определение 1.4. Пусть и – некоторые формации. Если , то положим Если , то обозначим через класс всех тех групп , для которых Класс называется произведением формаций и .

Из определения 1.4 следует, что произведение формаций является пустой формацией тогда и только тогда, когда по крайней мере одна из формаций является пустой. Можно определить произведение нескольких формаций как результат последовательного умножения. Если задан упорядоченный набор формаций причем произведение уже определено, то В частности, если для любого то мы приходим к понятию степени

Понятие произведения формаций представляет интерес с точки зрения построения формаций.

Теорема 1.1. Произведение любых двух формаций также является формацией.

Лемма 1.3. Пусть и – нормальные подгруппы группы . Тогда каждый главный фактор группы -изоморфен либо некоторому главному фактору группы , либо некоторому главному фактору группы

Доказательство вытекает из рассмотрения -изоморфизма

Теорема 1.2. Пусть некоторая формация, – класс всех тех групп, все главные факторы которых принадлежат Пусть – объединение формаций Тогда – подформация формации

Доказательство. Из леммы 1.3 выводим, что – формация. Из теоремы 1.1 и леммы 1.1 вытекает, что класс является формацией. Если – минимальная нормальная подгруппа группы , то по индукции для некоторого натурального . Но тогда либо , либо – -корадикал группы . Так как , то отсюда вытекает, что , и теорема доказана.

Операции на классах групп

Определение 2.1. Всякое отображение множества всех классов групп в себя называется операцией на классах групп.

Операции мы будем обозначать, как правило, прямыми большими латинскими буквами. Результат операции , примененной к классу обозначается через Степень операции определяется так: Произведение операций определяется равенствами:

Введем операции следующим образом:

тогда и только тогда, когда вкладывается в качестве подгруппы в некоторую -группу;

тогда и только тогда, когда вкладывается в качестве нормальной подгруппы в некоторую -группу;

тогда и только тогда, когда является гомоморфным образом некоторой -группы;

тогда и только тогда, когда совподает с произведением некоторого конечного числа своих нормальных -подгрупп;

тогда и только тогда, когда имеет нормальные подгруппы такие, что

тогда и только тогда, когда является расширением -группы с помощью -группы;

тогда и только тогда, когда имеет нормальную подгруппу такую, что

Если , то вместо пишут Обратим внимание на тот факт, что если – нормальные подгруппы группы , причем для любого , то Заметим еще, что операцию можно определить с помощью понятия подпрямого произведения. Напомним (см. Каргаполов и Мерзляков [1]), что подгруппа прямого произведения называется подпрямым произведением групп если проекция на совпадает с Легко видеть, что тогда и только тогда, когда есть подпрямое произведение некоторого конечного числа -групп.