Быстрый поиск

Курсовая работа: Локальные формации с метаабелевыми группами

Следствие 5.1.1. В любой группе подгруппа Фиттинга совпадает с пересечением централизаторов в всех главных факторов группы .

Следствие 5.1.2. Для любой -разрешимой группы имеет место включение .

Следствие 5.1.3. (Фиттинг). для любой разрешимой группы .

Следствие 5.1.4. (Чунихин [3]). Коммутант -сверхразрешимой группы -нильпотентен.

6. Формация -замкнутых групп. Пусть – формация всех -замкнутых групп ( – некоторое фиксированное множество простых чисел), – такой локальный экран, что для любого для любого . Покажем, что – экран формации .

Очевидно, . Предположим, что класс не пуст, и выберем в нем группу наименьшего порядка. Тогда имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем не является -группой. Пусть . Так как , то , а значит, . Поэтому – абелева -группа. Так как -замкнута, то и -замкнута, т.е. имеет нормальную -подгруппу . Ясно, что . Так как , то . Легко видеть, что , а значит, и группа -замкнута. Тем самым показано, что .

7. Формация -дисперсивных групп. Пусть – некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел, формация всех -дисперсивных групп. Покажем, что локальна.

Рассмотрим всевозможные множества простых чисел, обладающие следующим свойством: для всех . Пусть – формация всех -замкнутых групп. Очевидно, . Так как формации локальны, то по лемме 3.4 формация также является локальной.

8. Формация -разрешимых групп. Пусть – формация всех -разрешимых групп, – такой локальный экран, что для любого простого . Нетрудно заметить, что – максимальный внутрений локальный экран формации . В частности, формация является локальной.

9. Формация -сверхразрешимых групп. Пусть – формация всех -сверхразрешимых групп. Обозначим через формацию всех абелевых групп экспоненты, делящей . Построим локальный экран такой, что для любого для любого . Покажем, что . Ясно, что . Пусть , – минимальная нормальная подгруппа группы . По индукции . Если – -группа, то -сверхразрешима. Пусть порядок делится на некоторое число . Тогда, если , то

Отсюда следует, что – -группа.

Лемма5.1. Пусть некоторая неприводимая абелева группа автоморфизмов -группы и . Тогда – циклическая группа порядка, делящего . Кроме того, – наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению .

Доказательство. Будем считать, что аддитивная абелева группа. Тогда можно рассматривать как правое векторное пространство размерности над полем из элементов. Пусть – коммутативное подкольцо кольца , порожденное элементами и . Ввиду условия является неприводимым правым -модулем (определения, связанные с -модулями, см. у Кэртиса и Райнера [1]). По лемме Шура, – тело. Так как коммутативно, то . Легко видеть, что множество всех ненулевых элементов из замкнуто относительно операции умножения и, следовательно, является группой. Поэтому – поле. Так как -модуль неприводим, то для любого ненулевого ; но тогда отображение , является -гомоморфизмом -модуля на . Так как ядро есть идеал поля , то – изоморфизм. Следовательно, . Известно, что мультипликативная группа конечного поля циклическая. Поэтому циклическая и делит .

Пусть – наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению . Тогда делит . Хорошо известно, что поле порядка содержит подполе порядка . Так как циклическая группа содержит точно одну подгруппу каждого возможного порядка и делит , то . Но тогда и . Лемма доказана.

10. Формация . Пусть – непустая формация, – такой локальный экран, что для любого простого . Применяя следствие 7.1.1 можно увидеть, что – экран формации . В частности, формации и являются локальными формациями.

Пусть – локальный экран некоторой подформации из . Применяя леммы 3.3 и 4.3, видим, что является локальным -экраном формации . Таким образом, каждая локальная подформация формации имеет внутренний локальный -экран. В частности, любая локальная подформация формации имеет внутренний локальный -экран.

Локальные формации с заданными свойствами

Пусть – некоторая операция, – локальный экран формации . Естественно возникают два вопроса:

1) Будет ли -замкнутой, если -замкнута для любого простого ?

2) Будет ли -замкнутой для любого простого , если -замкнута?

Мы дадим положительный ответ на эти вопросы в некоторых конкретных случаях.

Теорема Слепова 1 Пусть – некоторый класс групп, – максимальный внутренний локальный экран формации , – фиксированное простое число. Тогда справедливы следующие утверждения: