Курсовая работа: Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами

В том случае, когда , по Теореме 4.2 имеем р-разрешимость . Следовательно, можно предположить, что .

Предположим, что . В этом случае всякая подгруппа  группы , содержащая , не является циклической и, следовательно содержит две различные максимальные подгруппы  и  порядка . В связи с тем, что  перестановочна со всякой силовской подгруппой , для , т.е.

подгруппы  группы  перестановочны с .

Таким образом, для подгрупп порядка р условия теоремы для  выполняются и по индукции получаем р-разрешимость  и .

Итак, имеем  и, следовательно . Отсюда следует, что  циклическая.

Если , то, так как  инвариантна в группе , она р-разрешима и также  p-разрешима. Таким образом, , т.е.

.

Группа  не содержит инвариантных -подгрупп, следовательно,  является р-группой. Если все подгруппы порядка р содержатся в , то  p-разрешима. Тогда можно предположить, что в  содержится подгруппа , не принадлежащая .

Пусть имеются  такие, что . Тогда, так как  перестановочна с любой  порядка, взаимно простого с p, по Теореме 4.1  p-разрешима.

Следовательно ,  и  перестановочна со всеми сопряжёнными подгруппами с . Рассмотрим фактор-группу . Согласно Теореме 2.1 группа  содержит собственную инвариантную подгруппу.

Если  минимальная инвариантная подгруппа группы , то, так как  p-разрешима,  либо -группа, либо р-группа.

Пусть  – -группа, тогда  и  является характеристической подгруппой в  и поэтому инвариантна в группе . Получили противоречие, так как в группе  нет инвариантных -подгрупп. Следовательно,  – элементарная абилева р-группа.

Из  следует, что . Группы

циклические. Отсюда следует, что в группе  все силовские q-подгруппы для  циклические.

Так как , то  имеет циклическую силовскую 2-подгруппу и по теореме Бернсайда  имеет инвариантное 2-дополнение, а по теореме Томпсона-Фейта  будет разрешимой.

Из р-разрешимости  следует р-разрешимость . Из р-разрешимости следует существование в  p-дополнения .

Из условия теоремы следует, что подгруппы  из силовской р-подгруппы  перестановочны с . По Теореме 2.1 .

Теорема доказана.

Теорема 4.4 Группа  сверхразрешима тогда и только тогда, когда каждая её циклическая подгруппа -перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы .

Теорема 4.5 Группа  является нильпотентной тогда и только тогда  имеет нильпотентную абнормальную подгруппа  такую, что каждые две силовские подгруппы группы  – -перестановочны.

Доказательство:

Предположим, что утверждение ложно и пусть группа  имеет минимальный порядок. Тогда

(1)  – нильпотентна для нормальной подгруппы  группы .

Пусть  И  силовская -подгруппы в  и силовская -подгруппа в  соответственно. Пусть  силовская -подгруппа в  и  силовская -подгруппа в . Тогда  и  – силовские подгруппы группы . Следовательно по предположению, что  и  – -перестановочные, а также по Теореме 3.6  – -перестановочна с .  является нильпотентной подгруппой в  и по Лемме 2.16  абнормальна в . Таким образом, наше предположение верно для . Поскольку ,  – нильпотентная по выбору группы .

(2)  для каждой силовской подгруппы  группы .

Для любого  существует элемент  такой, что , а также . Следовательно, .

(3)  является разрешимой.

Пусть  – простой делитель  и  силовская -подгруппа в . Пусть  силовская -подгруппа в . Тогда по второму пункту доказательства , где , тогда по Лемме 2.17 , и следовательно . Так как  – нильпотентная, то , а также . Таким образом,  имеет абелеву минимальную нормальную подгруппу. По (1)  – сверхразрешима, отсюда получаем (3).

(4) , где  – нильпотентная максимальная подгруппа группы  и  является максимальной нормальной подгруппой в , где .

В виду (1) и Леммы 2.15  имеет уникальную минимальную нормальную подгруппу  и . Теперь используя Лемму 2.14 мы получаем (4).

(5) Конечное противоречие.

По предположению  абнормальна в , таким образом  по Лемме 2.16  – картерова подгруппа в . Ясно, что  также является картеровой подгруппой в . Следовательно, по Лемме 2.14 получаем , для некоторого . Теперь предположим, что  – силовская -подгруппа в , где  – простой делитель , отличный от . Тогда , и по (2), , что противоречит Лемме 2.18.

Теорема доказана.

Заключение

Таким образом, в данной работе мы изучили конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами, в частности доказали следующие три новых признака p-разрешимости конечных групп

Теорема , силовская -подгруппа , -перестановочна с каждой силовской подгруппой из , порядок которой взаимно прост с . Тогда  -разрешима.

Теорема Пусть  – силовская -подгруппа ,  и каждая максимальная подгруппа  из  перестановочна с каждой силовской подгруппой из , порядок которой взаимно прост с . Тогда  -разрешима.

Теорема Пусть в группе G P – силовская р-подгруппа,  и . Если для некоторого фиксированного натурального числа  каждая подгруппа  порядка  перестановочна с каждой силовской подгруппой из G, порядок которой взаимно прост с р, то G p-разрешима с .

Список использованных источников

Скиба А.Н. «Решётки и универсальные алгебры». Гомель 2003 год.

Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. «Основы теории групп». М.:наука: 1972 год.

Холл Ф. «Теория групп». М.: ИЛ, 1962 год.

Селькин М.В. «Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп». Мн.: Беларуская навука. 1997 год.

Монахов В.С. «Введение в теорию групп и их классов». Гомель 2003 год.

K. Doerk and T. Hawkes, «Finite soluble grousp», Walter de gruyter, Berlin/New York, 1992.

O. Ore, Contributions in the theory of groups of finite order. Duke Math. J. 1939.

S.E. Stonehewer, Permutable subgroups in Infinite Groups, Math. Z., 1972.

N. Ito and J. Szйp, Uber die Quasinormalteiler von endlichen Gruppen. Act. Sci. Math. 1962.

J. Buckley, Finite groups whose minimal subgroups are normal, Math. Z. 116, 1970, 15–17.

P. Hanck, A. Martinez-Pastor and M.D. Perez-Ramos, Fitting classes and products of totally permutable groups. J. Algebra 252, 2002, 114–126.

O.H. Kegel, Producte nilpotenter Gruppen, Arch. Math. (Basel), 12, 1961, 90–93.

O.H. Kegel. Sylow-Gruppen and Subnormalteiler endlicher Gruppen, Math. Z., 87, 1962, 205–221.

Rudolf Maier, A completeness property of certain formations, Bull. London Math. Soc., 24, 1992, 540–544.

Gou Wenbin, Shum K.P., Skiba A.N. On Primitive Subgroups. – 2003. – (Препринт/ ГГУ им. Ф. Скорины; №51)

Боровиков М.Т. О р-разрешимости конечной группы. Мн.:Наука и техника, 1986.