Быстрый поиск

Курсовая работа: Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами

Далее мы докажем р-разрешимость конечных групп, в которых собственные подгруппы фиксированного порядка некоторой силовской р-подгруппы перестановочные с каждой силовской подгруппой, порядок которой взаимно прост с р.

Используем следующие обозначения:

– силовская р-подгруппа группы и .

– подгруппа из и , где – натуральное число.

– максимальная подгруппа силовской р-подгруппы .

Остальные обозначения и определения смотри в .

Теорема 4.1. , силовская -подгруппа , -перестановочна с каждой силовской подгруппой из , порядок которой взаимно прост с . Тогда -разрешима.

Доказательство: Для доказательства леммы применим индукцию по порядку группы .

Пусть – силовская -подгруппа группы ,

-перестановочная со всеми силовскими подгруппами группы , порядки которых взаимно просты с .

Предположим . Применяя теорему 3.6 видим, что условие данной теоремы переносится на фактор-группы. Значит мы можем считать, что – разрешимая группа, что влечёт разрешимость группы . Пусть теперь тогда, по теореме 2.1 группа непроста.

Докажем, что любая инвариантная в подгруппа

-разрешима.

Возьмём подгруппу , инвариантную в , и будем рассматривать подгруппу . Имеем два случая:

1) .

В этом случае . Тогда все -подгруппы для содержатся в . Подгруппа -силовская в . Следовательно, имеем

и, согласно индукции, -разрешима.

2) Пусть .

В этом случае подгруппы являются

-силовскими в , а – -силовскими в .

Из по индукции имеем, что -разрешима и, следовательно, -разрешима.

Так как для условия теоремы выполняются, то по индукции имеем -разрешимость и .

Теорема доказана.

Теорема 4.2. Пусть – силовская -подгруппа , и каждая максимальная подгруппа из перестановочна с каждой силовской подгруппой из , порядок которой взаимно прост с . Тогда -разрешима.

Доказательство: проведём методом индукции по порядку группы .

Если р-силовская подгруппа группы не является циклической, то она содержит две различные максимальные подгруппы и . Тогда, используя условия теоремы, имеем

Отсюда, согласно теореме 4.1, p-разрешима.

Пусть – циклическая подгруппа и – максимальная подгруппа из .

Предположим . Применяя теорему 3.6 видим, что условие данной теоремы переносится на фактор-группы. Значит мы можем считать, что – разрешимая группа, что влечёт разрешимость группы . Пусть теперь , тогда по теореме 2.1 группа непроста.

Пусть – инвариантная подгруппа , тогда для и

Подгруппа перестановочна с подгруппой .

Действительно,

Если является силовской р-подгруппой в , то по теореме 4.1 p-разрешима, а следовательно, и p-разрешима.

Если не является силовской в , то она максимальная в силовской подгруппе . В том случае, когда , по индукции и p-разрешимы.

Когда . По подсчёту порядков имеем

и – максимальная подгруппа в силовской р-подгруппе из .

Если , то выполняются для подгруппы условия теоремы в виду

следовательно, по индукции p-разрешима.

В случае имеем

и из факторизации следует , что для циклической невозможно.

Мы показали, что существует р-разрешимая инвариантная подгруппа группы . Тогда минимальная инвариантная подгруппа группы – либо р-подгруппа, либо -подгруппа.

Пусть – -подгруппа, тогда, согласно индукции, теорема верна.

Если – -подгруппа, то будет порядка ввиду цикличности . Централизатор содержит . Как ранее показано, любая инвариантная подгруппа группы p-разрешима, поэтому из р-разрешимости и следует р-разрешимость группы .

Если , т.е. единственная значит является p-разрешимой.

Теорема доказана.

Теорема 4.3 Пусть в группе G P – силовская р-подгруппа, . Если для некоторого фиксированного натурального числа подгруппа с каждой силовской подгруппой из G, порядок которой взаимно прост с р, то G p-разрешима с .

Доказательство:

Докажем теорему методом индукции по порядку группы G. Пусть G – минимальный контрпример, т.е. для всех групп порядков меньше теорема верна. Покажем справедливость её для группы G.

Вначале покажем, что в группе G нет инвариантных -подгрупп. Действительно, пусть N – такая подгруппа, то, так как для условия теоремы выполняются, и G будут р-разрешимы.

По теореме 2.1 группа G непроста.

Покажем, что любая инвариантная в G подгруппа N р-разрешима. Пусть N – инвариантная подгруппа группы G, индекс которой в G равен степени р. Тогда для любой силовской подгруппы Q, порядок которой взаимно прост с р. Выберем в P такую максимальную подгруппу , чтобы , и рассмотрим подгруппу .

Если , то для подгруппы условия теоремы выполняются.

Действительно, возьмём подгруппу , имеем

Следовательно, подгруппа , а также подгруппа р-разрешимы.

Если , то по Теореме 4.2 сама группа

p-разрешима.

Пусть индекс подгруппы в группе не равен степени р, тогда

Рассмотрим подгруппу . Для условия теоремы выполняются. Пусть – подгруппа порядка из Р, тогда имеем

Итак, подгруппа р-разрешима и, следовательно,

p-разрешима.

Так как в группе G отсутствуют инвариантные -подгруппы, то G содержит инвариантную р-подгруппу.

Возьмём в группе G минимальную инвариантную подгруппу с . Если , то пусть – инвариантная в подгруппа порядка и . Тогда инвариантна в для любой силовской подгруппы группы порядка, взаимно простого с р, и инвариантна в , что противоречит минимальности подгруппы . Таким образом, . В том случае, когда для , условия теоремы выполняются и , а следовательно, и p-разрешимы. Следовательно, .