Быстрый поиск

Курсовая работа: Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами

где .

Лемма 2.15 Пусть – группа, . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Если сверхразрешима, то и является -замкнутой, где – наибольший общий делитель ;

(2) Если , сверхразрешимы, то является сверхразрешимой;

(3) сверхразрешима, тогда и только тогда, когда является простым для каждой максимальной подгруппы группы .

Лемма 2.16 Если и – абнормальная подгруппа группы . То справедливы следующие утверждения:

(1) абнормальна в .

(2) Если , то абнормальна в .

Лемма 2.17. Если и – простое число, то существует такие силовские -подгруппы , и в , и соответственно, для которых .

Лемма 2.18. Пусть , подгруппы группы и . Тогда для всех .

3. Определения, примеры и общие свойства -перестановочных подгрупп

Напомним, что подгруппа группы перестановочна с подгруппой , если . Если перестановочна со всеми подгруппами группы , то она называется перестановочной [] или квазинормальной в [].

Так как для двух перестановочных подгрупп и произведение также является подгруппой в , то понятие перестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятия нормальных подгрупп.

Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Как известно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей [] и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечной порождённой группе , то субнормальна в [].

Но фактически эти два результата были получены как обобщения следующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группы является субнормальной [].

Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждой перестановочной подгруппы конечной группы , – нильпотентна [].

Немного позже было доказано, что при таких условиях,

[].

При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией, когда некоторые подгруппы и группы неперестановочны, но существует подгруппа такая, что для некоторого .

Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.

Определение 3.1 Пусть , – подгруппы группы и . Тогда мы говорим, что:

(1) является -перестановочной с , если для некоторого имеем .

(2) является наследственно -перестановочной с , если для некоторого .

Заметим, что -перестановочные подгруппы будут являются просто перестановочными подгруппами. Во втором приведённом случае мы имеем дело с -перестановочными подгруппами, которые были исследованы и использованы в [].

Рассмотрим следующих три основных примера:

Пример 3.2 Пусть – конечная группа, – силовская -подгруппа , – силовская -подгруппа . Тогда в общем случае , но существует такой, что – силовская -подгруппа группы .

Подгруппа конечной группы называется нормально погружённой, если каждая её силовская подгруппа является силовской подгруппой в некоторой нормальной подгруппе группы .

Пример 3.3 Пусть – конечная разрешимая группа, и – нормально погружённые подгруппы группы . Тогда является -перестановочной с .

Определение 3.4 Подгруппа группы называется (наследственно) -перестановочной, если она (наследственно) -перестановочна со всеми подгруппами группы .

Пример 3.5. Пусть , где и – симметричная группа из 3 символов. Ясно, что не является перестановочной ( для всех не тождественных элементов ). В тоже время – наследственно -перестановочна.