Курсовая работа: Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами
Полугруппой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на , т.е. для всех и ;
(2) операция ассоциативна, т.е. для любых .
Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на , т.е. для всех и ;
(2) операция ассоциативна, т.е. для любых ;
(3) в существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех ;
(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент , что .
Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.
Если G – конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число элементов в – порядком группы .
Также группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на ;
(2) операция ассоциативна;
(3) уравнения , имеют решения для любых элементов .
Подмножество группы называется подгруппой, если – группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующее обозначение: . Запись читается так: – подгруппа группы .
Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество конечной группы называется подгруппой, если для всех и
Каждая группа обладает единичной подгруппой . Сама группа также считается подгруппой в . Эти подгруппы называют тривиальными подгруппами. Нетривиальная подгруппа группы это такая подгруппа из , которая отлична от и отлична от единичной подгруппы .
Собственной называется подгруппа, отличная от группы.
Пусть – подмножество группы и . Через
обозначим подмножество всех элементов группы вида , где пробегает все элементы множества . Подмножество называется подмножеством, сопряженным подмножеству посредством элемента .
Подгруппа называется подгруппой, сопряженной подгруппе посредством элемента .
Пусть – непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе и обозначается через . Таким образом,
Центром группы называется совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом группы . Центр группы обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того,
Зафиксируем элемент в группе . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через . Таким образом,
Для элемента имеются следующие две возможности.
Все степени элемента различны, т.е. для целых . В этом случае говорят, что элемент имеет бесконечный порядок.
Имеются совпадения при . Если, например, , то и , т.е. существуют натуральные степени элемента , равные единичному элементу. Наименьшее натуральное число , при котором называют порядком элемента и пишут
Если группа совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то группу называют циклической группой. В этом случае в группе имеется элемент такой, что , все элементы в группе являются целыми степенями элемента :
Если элемент имеет бесконечный порядок, то все эти элементы в группе попарно различны и – бесконечная циклическая группа.
Если элемент имеет конечный порядок , то , т.е. циклическая группа , порожденная элементом порядка , состоит из элементов. В этом случае – конечная циклическая группа порядка .
Две группы и называются изоморфными, если существует биекция такая, что для всех . Факт изоморфизма записывают так: .
Пусть – группа, и . Правым смежным классом группы по подгруппе называется множество
всех элементов группы вида , где пробегает все элементы подгруппы .
Аналогично определяется левый смежный класс
Пусть – подгруппа группы . Подмножество элементов группы называется правой трансверсалью подгруппы в группе , если содержит точно один элемент из каждого правого смежного класса группы по подгруппе . Итак, если
– правая трансверсаль подгруппы в группе , то
– конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе также будет конечно, оно называется индексом подгруппы в группе и обозначается через . Ясно, что индекс подгруппы в конечной группе совпадает с числом элементов в правой трансверсали подгруппы , т.е.
Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы в группе . Если
– левая трансверсаль подгруппы в группе , то
Ясно, что индекс подгруппы в конечной группе совпадает с числом элементов в левой трансверсали подгруппы , т.е. .
Пусть и – подгруппы группы и . Множество
называется двойным смежным классом группы по подгруппам и .