Курсовая работа: Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами

Подгруппа  группы  называется холловой подгруппой, если  – -холлова подгруппа для некоторого множества . Другими словами,  – холлова подгруппа тогда и только тогда, когда

-Холлову подгруппу, если она существует в группе , называют -дополнением.

Подгруппа  разрешимой группы  называется картеровой подгруппой группы , если  нильпотентна и .

Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы  называют подгруппой Фиттинга группы  и обозначают через .

Силовская система группы  полностью задаётся  силовскими -подгруппами группы  для любого , удовлетворяющего  для всех , .

Две силовские системы  и  из  называются сопряженными, если там существует элемент  такой, что  для всех .

Напомним, что подгруппа  группы  называется абнормальной если  и  сопряжены в в  для любого .

2. Используемые результаты

Теорема 2.1 Конечная группа  тогда и только тогда непроста, когда она содержит такие подгруппы  и , , что  перестановочна с каждой сопряжённой с  в  подгруппой , и, кроме того, .  или  тогда содержаться в некотором собственном нормальном делителе группы .

Теорема 2.2 (Бернсайда) Группа  порядка  разрешима для любых .

Теорема 2.3 (Томпсона – Фейта) Группы нечётного порядка разрешимы.

Теорема 2.4 (Теорема о соответствии) Пусть  – нормальная подгруппа группы . Тогда:

(1) если  – подгруппа группы  и , то  – подгруппа факторгруппы ;

(2) каждая подгруппа факторгруппы  имеет вид , где  – подгруппа группы  и ;

(3) отображение  является биекцией множества S на множество S;

(4) если  S, то  – нормальная подгруппа группы  тогда и только тогда, когда  – нормальная подгруппа факторгруппы .

Теорема 2.5 (Силов) Пусть конечная группа  имеет порядок , где  – простое число и  не делит . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) в группе  существует подгруппа порядка  для каждого ;

(2) если  – -подгруппа группы  и  – подгруппа порядка , то существует такой элемент , что ;

(3) любые две подгруппы порядка  сопряжены в группе ;

(4) число подгрупп порядка  в группе  сравнимо с единицей по модулю  и делит .

Лемма 2.6 Пусть конечная группа  имеет порядок , где  – простое число и  не делит . Тогда:

(1) существует силовская -подгруппа и её порядок равен ;

(2) каждая -подгруппа содержится в некоторой силовской -подгруппе;

(3) любые две силовские -подгруппы сопряжены;

(4) число силовских -подгрупп сравнимо с единицей по модулю  и делит .

Теорема 2.7 Для конечной группы  и её силовской -подгруппы  справедливы следующие утверждения:

(1) если , то  – силовская -подгруппа в , а  – силовская -подгруппа в ;

(2) ;

(3) если  и , то

и

(4) пусть  – все простые делители порядка группы   при , и пусть  – соответствующие им силовские подгруппы. Тогда

а если , то .

Теорема 2.8 Пусть группа  является прямым произведением своих подгрупп  и . Тогда:

(1) каждый элемент  единственным образом представим в виде , где , ;

(2) каждый элемент подгруппы  перестановочен с каждым элементом подгруппы .

Обратно, если выполняются требования (1) и (2), то , подгруппы  и  нормальны в , и .

Теорема 2.9

(1) В каждой группе минимальная нормальная подгруппа характеристически простая.

(2) Характеристически простая группа является прямым произведением изоморфных простых групп.

Теорема 2.10 Для группы  следующие требования эквивалентны:

(1)  – нильпотентная группа;

(2)  – прямое произведение своих силовских подгрупп;

(3) каждая собственная подгруппа отлична от своего нормализатора;

(4) все максимальные подгруппы нормальны;

(5) все подгруппы группы  субнормальны.

Теорема 2.11

(1) В разрешимой неединичной группе минимальная нормальная подгруппа является элементарной абелевой -подгруппой для некоторого простого .

(2) В разрешимой неединичной группе максимальные подгруппы имеют примарные индексы.

(3) Главные факторы разрешимой неединичной группы являются элементарными абелевыми примарными группами.

(4) Композиционные факторы разрешимой неединичной группы имеют простые порядки.

Теорема 2.12

(1) Если группа  содержит нормальную циклическую подгруппу  и факторгруппа  сверхразрешима, то группа  сверхразрешима.

(2) Если факторгруппа  сверхразрешима, то группа  сверхразрешима.

(3) Нильпотентная группа сверхразрешима.

Лемма 2.13 Пусть  – разрешимая группа. Тогда имеют место следующие утверждения:

(1)  имеет силовские системы и всякие две силовские системы группы  сопряжены в .

(2) Если  и  будет силовской системой в , тогда существует силовская система , такая что  для всех .

(3) Если  – силовская система в  и . Тогда  покрывает каждый центральный главный ряд группы .

Лемма 2.14 Пусть  разрешимая группа, тогда:

(1)  имеет картерову подгруппу и любые две картеровы подгруппы из  сопряжены;

(2) ;

(3) если  и цоколь  – минимальная нормальная подгруппа группы , тогда

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7