Курсовая работа: Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами

При  двойной смежный класс

превращается в произведение подгрупп  и . В общем случае  не является подгруппой.

Говорят, что подгруппы  и  перестановочны, если . Равенство  означает, что для любых  существуют  такие, что .

Если , то говорят, что группа  есть произведение своих подгрупп  и , либо группа  факторизуема подгруппами  и . В этом случае каждый элемент  представим в виде , где .

Подгруппа  называется нормальной подгруппой группы , если  для всех .

Запись  читается так:  – нормальная подгруппа группы  Равенство  означает, что для любого элемента  существует элемент  такой, что .

В каждой группе  тривиальные подгруппы (единичная подгруппа  и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе  нет других нормальных подгрупп, то группа  называется простой. Единичную группу  считают непростой группой.

Пусть  – нормальная подгруппа группы . Обозначим через  совокупность всех левых смежных классов группы  по подгруппе , т.е.

Группа  называется факторгруппой группы  по подгруппе  и обозначается через .

Пусть  – простое число. p-группой называют конечную группу, порядок которой есть простого степень числа . Ясно, что подгруппы и факторгруппы любой -группы также являются -группами. Конечная группа называется примарной, если она является -группой для некоторого простого .

Силовской p-подгруппой конечной группы  называют такую -подгруппу, индекс которой не делится на .

Каждая нормальная подгруппа  группы  определяет цепочку . Обобщая эту ситуацию, цепочку

вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы  называют нормальным рядом в .

Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т.е.  для

Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа  субнормальна в , то пишут ().

Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.

Пусть  – группа,  и  – ее подгруппы. Напомним, что произведение  определяется как множество элементов , где , . Если , то говорят, что группа  является произведением своих подгрупп  и . В этом случае каждый элемент  представим в виде , где , .

Произведение  называется прямым, если подгруппы  и  нормальны в  и . Прямое произведение обозначают так: . Итак, группа  является прямым произведением своих подгрупп, если выполняются следующие требования:

Можно дать следующее определение прямого произведения, эквивалентное начальному. Группа  является прямым произведением своих подгрупп  и , если:

– каждый элемент  единственным образом представим в виде , где , ;

– каждый элемент подгруппы  перестановочен с каждым элементом подгруппы .

Определение прямого произведения сформулировано для двух подгрупп. Для большего числа сомножителей определение выглядит так.

Минимальной нормальной подгруппой группы  называют такую нормальную подгруппу  группы , что  и в  нет нетривиальных нормальных подгрупп группы . Запись  означает, что  – минимальная нормальная подгруппа группы . Таким образом, если , то  и из условий  следует, что  или . Очевидно, что в каждой неединичной конечной группе имеется минимальная нормальная подгруппа.

Группа называется сверхразрешимой, если она обладает нормальным рядом с циклическими факторами.

Цоколем группы G называется подгруппа, являющаяся произведением всех минимальных нормальных подгрупп группы G. Цоколь группы G обозначают через . Таким образом,

Группа называется нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны.

Элементарной абелевой p-группой называют группу, являющуюся прямым произведением подгрупп порядка .

Собственная подгруппа  неединичной группы  называется максимальной подгруппой, если  не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия  следует, что  или . Для максимальной подгруппы  неединичной группы  используется запись

В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы  и , что . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого . Отсюда .

Коммутатором элементов  и  называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .

Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы , называется коммутантом группы  и обозначается через . Таким образом,

Для любой неединичной подгруппы  можно построить цепочку коммутантов

Если существует номер  такой, что , то группа  называется разрешимой.

Говорят, что подгруппа  группы  дополняема в , если существует такая подгруппа , что  и . В этом случае подгруппу  называют дополнением к подгруппе  в группе .

Пусть  – множество всех простых чисел, а  – некоторое множество простых чисел, т.е. . Дополнение к  во множестве  обозначим через , т.е. .

Зафиксируем множество простых чисел . Если , то число  называется -числом.

Подгруппа  группы  называется -подгруппой, если  есть -число. Подгруппа  называется -холловой подгруппой, если  есть -число, а индекс  есть -число. Таким образом, -холлова подгруппа это такая -подгруппа, индекс которой не делится на простые числа из .

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7