Дипломная работа: Алгебра октав
Пусть 
-линейная алгебра ранга п
над полем действительных чисел и х, у 
А. Если e1, e2, ..., еn - базис А, то:
х = х1е1 + х2е2 + .... + хпеп, у = y1е1 + y2е2 + .... + yпеп. .
Определение.
Скалярным произведением элементов х, у 
А называется сумма х1у1
+ х2у2 + ... + хпуп.
Обозначение скалярного произведения:
(х, у) = х1у1 + х2у2 + ... + хпуп.
В частности:
(х, х) =
+
+… +
.
Скалярное
произведение элементов х, у
А должно удовлетворять общим условиям скалярного
произведения в линейных пространствах:
1)для
любых х, у 
А (х, у) ≥ 0 и (х, х) = 0 тогда и только тогда,
когда х = 0;
2)для
любых х, у 
А имеет место (х, у) = (у, х);
3)для
любых х, у 
А и А 
R имеет место (λх, у) = (х, λу) = λ(х, у):
4)для
любых х, у, z 
А имеет место (х, у + z) = (х, у) + (х, z).
Определение.
Линейная алгебра 
называется
нормированной, если в ней можно ввести скалярное произведение для любых х, у 
А таким образом, чтобы выполнялось
равенство:
(ху, ху)
= (х, х)(у, у) . (
)
Если
положим 
=|х|. то равенство (
) записывается в виде:
|ху| =
|х| 
|у|.
Из (ху, ху) = (х, х)(у, у) следует, что если ху = 0, то либо х = 0, либо у = 0. В самом деле, тогда
(0, 0) =
(х, х)(у, у) 
(х, х)(у, у) = 0,
откуда либо (х, х) = 0, либо (у, у) = 0. А тогда либо х = 0, либо у =0.
Лемма 1. Любой элемент линейной алгебры молено разложить на два слагаемых, одно из которых пропорционально какому-либо ненулевому элементу, а другое ортогонально ему.
Пусть e 
А, и u
e, а - произвольный элемент из А.
Покажем, что найдется такое k 
R, что a - ke
e. Тогда:
a - ke
e 
(a – ke, e) = 0 
(a, e) – k(e, e) = 0.
Скалярное,
произведение (е, е) ≠ 0, так как е ≠ 0. Тогда а = kе + (а - kе) = kе + u, где u = a - ke
e.
Следствие. Если 
-
линейная алгебра с единицей 1, то для любого а 
А имеет место а = k1 + u, где u 
1.
Пример
1. Пусть (C, +, .R, .) - поле комплексных чисел. Базисом в С являются 1,
i. Скалярное произведение двух
комплексных чисел z =а+bi и u =с+ di определим как (z, u) = 
(zū + u
).
Так как
zū = (а+ bi)(с- di) = (ac+bd)+(bc-ad)i,
u
= (с+ di)( а-bi) = (ac+bd)+(ad-cb)i,
то (z, u) = 
(zū + u
) = ac+bd.
В частности,
(z, z) = 
(z
+ z
) = z
= |z|2 = a2+b2.
Так как,
zu = (ac-bd)+(ad+bc)i,
то (zu, zu) = 
((zu)*(
)+( zu)( 
))=( zu)(
)=|zu|2 =
(ac-bd)2+( ad+bc)2=
a2с2-2abcd + b2d2 + a2d2 + 2abcd + b2c2 = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 =
a2 (c2 + d2) + b2 (c2
+ d2) = (a2 + b2) (c2 +
d2) = | z |2 
| u |2
= (z, z)(u, и),
т.е. выполняется
(zu, zu) = (z, z)(u, и).
Проверим выполнение условий скалярного произведения:
1) (z, z) = | z |2 = a2 + b2 ≥ 0 и (z, z) = a2 + b2 = 0 
a= 0
b= 0 
z=0;
2) (z, u) = 
(zū + u
) = 
( u
+zū) =(u, z);
3) (z, ku) = 
(z
+(ku) 
) = 
k(zū + u
) =k(z, u);
4) (z, u+v) = 
(z
+( u+v) 
) = 
(zū+z
+ u
+ v
) =
(zū+ u
)+
( z
+ v
) = (z+u)+(z+v).
Итак, все условия скалярного произведения при
(z, u) = 
(zū + u
)
выполнены для комплексных чисел z и u.
Пример 2.
Пусть 
- тело кватернионов.
Базисом в К являются 1, i, j, k. Если
р = a+bi+cj+dk, q = a1+b1i+c1j+d1k,
то по свойству 6 сопряженных кватернионов
p
+ q
= 2(aa1 + bb1 + cc1 + dd1).
Возьмем в качестве скалярного произведения двух кватернионов р и q выражение
(p
+
q
) = aa1 + bb1
+ cc1 + dd1.
Итак,
(p, q) = 
(p
+ q
).
В частности,
(p, p) = 
(p
+ p
)= p
= |p|2 = a2+
b2 + c2 + d2.
Проверим выполнение условий скалярного произведения:
1) (p, p) = |p|2 = a2+ b2 + c2
+ d2 ≥ 0 и (p,
p) = a2+ b2 + c2 + d2 = 0 
a= 0
b= 0 
c= 0
d= 0 
p=0;
2) (p, q) = 
(p
+ q
) = 
( q
+ p
) = (q; p);
3) (p, kq) = 
(p
+(kq) 
) = 
k(p
+ q
) =k(p, q);
4) (p, q1+q2) = 
(p
+(q1+q2)
) = 
(p
1+ p
2+ q1
+ q2
) =
(p
1+ q1
) + 
(p
2+ + q2
) = (p+q1)+(p+q2).
Проверим равенство:
(pq, pq) = (p, p)(q, q).
В самом деле,
(pq, pq) = 
((pq) * (
) + (pq) * (
)) = 
((pq) * (
) + (pq) * (
)) = (pq) *
(
) = p(q
)
= |q|2 p
=|p|2 + |q|2 = (a2 + b2 + c2 + d2)* (
) = (p,p ) (q, q).
Итак, все условия скалярного произведения при
(p, q) =
(p
+ q
)
выполнены для кватернионов р и q.
Пример
3. Пусть 
- алгебра октав. Базисом в
U являются 1, i, j, k, e, I, J, K.
Если
w =и+ve =a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK, и w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1 J+D1K,
то по свойству 6) сопряженных октав
w
+w1
=2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1).
Возьмем в качестве скалярного произведения двух октав w и w1 выражение
(w
+w1
) =aa1+bb1+cc1+dd1+A
A1+BB1+CC1 +DD.
Итак,
(w, w1) = 
(w
+w1
).
В частности,
(w, w) = 
(w
+w
) = w
= | w |2 = a2
+ b2 + c2 + d2 + A2 + B2
+ C2 + D2 .
Проверим выполнение условий скалярногопроизведения:
1) (w, w) = | w |2
= a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 ≥ 0 и (w, w) = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 
a= 0
b= 0 
c= 0
d= 0 
A = 0
b= 0 
c= 0
d= 0 
w = 0;
2) (w, w1) = 
(w
1+w1
) = 
(w1
+w
1) =(w1, w);
3) (w, kw1) = 
(w(
1)+(kw1)
) = 
k(w1
+w
1) =k(w1, w);
4) (w, w1+ w2) = 
(w
+(w1+w2) 
) = 
(
w
1 + w
2+ w1
+ w2
) = 
(w
1 + w1
) +
(w
2+w2
) = (w, w1)+( w, w2).
Проверим равенство:
(ww1, ww1) = (w, w)(w1, w1).
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
