Быстрый поиск

Дипломная работа: Алгебра октав

откуда следует, что есть под тело алгебры ,.

Покажем, что изоморфно телу кватернионов . Для этого рассмотрим отображение f : U1 → K такое, что ((u; 0) є U1) f ((u; 0)) = u, т.е. паре (и;0) ставит в соответствие кватернион и. Имеем:

f ((u1; 0) + (u2; 0)) = f ((u1 + u2: 0)) = u1 + u2 = f ((u1; 0)) + f ((u2; 0));

f (- (u; 0)) = f (( - u; 0)) = - u = - f ((u; 0));

f ((u1; 0) (u2; 0)) = f ((u1 u2: 0)) = u1 u2 = f ((u1; 0)) f ((u2; 0));

f ((u; 0)-1) = f ((; 0)) = ; 0 = u-1 = f ((u; 0)) -1,

откуда следует, что отображение f является гомоморфным отображением алгебры в тело кватернионов. Это отображение биективно, так как

f ((u1; 0)) = f ((u2; 0)) u1 = u2 (и1; 0) = (и2; 0) и f (U1) = К.

Следовательно, отображение f есть изоморфизм тела на тело кватернионов (К, +, .), т.е. тело изоморфно телу кватернионов. В этом случае мы можем рассматривать тело как лишь другую модификацию тела кватернионов, а пару (u;0) отождествлять с кватернионом и. А так как есть подтело алгебры , то и изоморфное ему тело кватернионов является подтелом алгебры .

Проверим выполнение третьей аксиомы. Для этого возьмем пару (0; 1). Имеем:

(0; 1)2 = (0; 1) (0; 1) = (00 - 1; 10+1) = (-1; 0) = -(1; 0) = -(1; 0) = - 1.

С другой стороны:

(0; i) ≠ (i; 0) = i; (0: 1) ≠ (j; 0) = j; (0; k) ≠ (k; 0) = k.

Обозначим: (0; 1) = е. Следовательно, на построенной модели выполняется и третья аксиома.

Из проверки второй и третьей аксиом следует, что любой элемент (и; v) , представим в виде u + ve, где и, v є К и е2 = -1. Действительно,

(u; v) = (u; 0) + (0: v) = (u; 0) + (v; 0) * (0; 1) = и + ve.

Проверим выполнение четвертой аксиомы. Пусть подалгебра алгебры , содержащее в себе тело кватернионов и элемент е. Ясно, что U/ К х К. Если мы покажем, что К х K U/, то тем самым совпадает с . Так как каждый элемент алгебры имеет вид u+ve, где и, v К. е2 = - 1, то u + vjU/, так как и, v К U/, e U/ и - альтернативная алгебра (а, следовательно, замкнута относительно сложения и умножения). Итак, К х K U/, откуда U/ = К х K и, следовательно, имеет место выполнение четвертой аксиомы.

Так как на построенной модели выполняются все четыре сформулированные выше аксиомы алгебры октав, то эта система аксиом алгебры октав непротиворечива.

Мы показали, что любая октава представима в виде u+ve. где и, v К. Пусть

u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk, a,b,c,d, a,b,c,d R.

Тогда,

и + vе = a+bi+cj+dk + (A+Bi+Cj+Dk)e = a+bi+cj+dk+ Ae+B(ie)+C(je)+D(ke).

Вычислим

ie = (i; 0) (0; 1) = (i0 - 0; 1i + 0) = (0; i);

je = (j; 0) (0; 1) = (j0 - 0; 1j + 0) = (0; j);

ke = (k; 0) (0; 1) = (k0 - 0; 1k + 0) = (0; k),

откуда следует, что ie, je, ke отличны друг от друга и от предыдущих мнимых единид i, j, k, e.

Покажем, что (ie)2 = (je)2 = (ke)2 = -1. Действительно,

(ie)2 = (i; 0) (i; 0) = (ii - 0; 0i + 0ī) = (-1; 0) = -1;

(je)2 = (j; 0) (j; 0) = (jj - 0; 0j + 0ī) = (-1; 0) = -1;

(ke)2 = (k; 0) (k; 0) = (kk - 0; 0k + 0ī) = (-1; 0) = -1.

Следовательно, ie, je, ke можно выбрать в качестве новых мнимых единиц, обозначив их соответственно iе = I, je = J. ke = К и октаву w записать в виде

w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

где a,b,c,d, a,b,c,d R.

Эту форму записи октавы назовем алгебраической формой. Обозначим КхK=U и назовем U алгеброй октав.

1.2 Категоричность системы аксиом алгебры октав

Теорема 2. Система аксиом алгебры октав категорична.

Пусть (U, +, ., e) и (U1, ,, e1 ) - две модели алгебры октав и e2 = -1, e21 = Ө1.

Рассмотрим отображение Ф : U → U такое, что

Ф (u+ve) = uve1, u,v К.

Покажем, что Ф - гомоморфное отображение первой модели на вторую модель.

Пусть w1 = u1+v1e и w2 = u2+v2e. Тогда:

Ф(w1+ w2) = Ф((u1+v1e) + (u2+v2e)) = Ф((u1+u2)+(v1+v2)e) = (u1+u2)(v1+v2)e1 = (u1v1e1 ) (u2v2e1) = Ф(u1+v1e) Ф(u2+v2e) = Ф(w1)Ф(w2);

Ф(w1 w2) = Ф((u1+v1e) (u2+v2e)) = Ф((u1u2 - 2v1)+(v2u1 + v1ū2)e) = (u1u2 - 2v1) (v2u1 + v1 ū2) e) =(u1u2 Ө 2v1)(v2u1 v1ū2)e) =(u1v1e1)( u2v2e1) = Ф(u1+v1e) Ф(u2+v2e) = Ф(w1) Ф(w2);

Ф(-w) = Ф (-(u+ve)) = Ф (-u -ve) = ӨuӨve1 = Ө(uve1) = ӨФ(u+ve)= ӨФ(w);

Ф(w-1)=Ф((u+ve)-1)=Ф(Өe)= (Ө e) = Ө e = (uve1)-1 = (Ф(u+ve)Ө1) = (Ф(w)) Ө1.

Следовательно, отображение Ф есть гомоморфное отображение алгебры в (U1, ,, e1 ).

Покажем, что отображение Ф инъективно:

Ф(w1)=Ф(w2) Ф(u1+v1e) = Ф(u2+v2e) u1v1e1 = u2v2e1 u1=u2v1=v2 u1+v1e= u2+v2e w1= w2.

Сюръективность отображения Ф очевидна, так как

(qU1) (u,vK)p= uve1 (u+ve = wU) Ф(w) = p.

Итак, отображение Ф есть изоморфизм алгебры на алгебру (U1,,,e1) и, следовательно, система аксиом алгебры октав категорична ввиду изоморфности произвольных ее моделей.