Дипломная работа: Алгебра октав
Здесь
следует учитывать, что 
2v2 = v2
2 = |v2|2 и u2 + ū2
- действительные числа. Сравнивая правые части полученных равенств,
убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно,
равенство 8) справедливо.
9) Покажем, что имеет место равенство
(u2; v2) 
((u2; v2) 
(u1; v1)) = ((u2; v2) 
(u2; v2)) 
(u1; v1).
Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:
(u2; v2) 
((u2; v2) 
(u1; v1))
= (u2; v2) 
(u2u1
- 
1v2;
v1 u2 + v2 ū1) = (u2(u1
u2 - 
2v1)
v2;
(v1 u2 - v2 ū1) u2 +
v2 
) = (u2u1 u2
- u2
1v2
v2 - u1
2v2;
v1u2u2 + v2 ū1 u2
+ v2 
- v2
2v1)
= (u2u1 u2 - u1 |v2|2
- (u2 + ū2) 
1v2;
v1u2u2 + v2 ū1(u2
+ ū2) - |v2|2 v1).
Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:
((u2; v2) 
(u2;
v2)) 
(u1;
v1) = (u2 u2 - 
2v2;
v2 u2 + v2 ū2) 
(u1; v1)
= ((u2 u2 - 
2v2)
u1 - 
1(v2
u2 + v2 ū2);
v1(u2 u2 - 
2v2)
+ (v2 u2 + v2 ū2) ū1)
= (u2 u2 u1- 
2v2
u1 - 
1v2
u2 - 
1v2
ū2; v1u2 u2 - v1
2v2 +
v2 u2 ū1 + v2
) = u2 u2
u1 - 
1v2(u2
+ ū2) - |v2|2u1; v1u2
u2 - v1 |v2|2+ v2 ū1
(u2+ ū2).
Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 9 справедливо.
Из
равенств 8) и 9) следует, что умножение в 
альтернативно.
10) Для
определения правого нейтрального элемента (единицы) относительно операции
умножения в 
решим уравнение:
(u; v) 
(x; y) = (u; v),
в котором и и v одновременно не равны 0, так как (0; 0) = 0и и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть u ≠ 0. Тогда:
(u; v) 
(х; у) = (u; v) 
(хu - 
y; уи + v
) = (и; v) 
Умножим
обе части первого уравнения этой системы слева на u-1=
,откуда:
(u-1 
u)
x = u-1
v+ u-1u
x = 
v
=1+ 
уи.
Подставим
полученное значение 
во второе уравнение системы:
v(1+ 
уи) + уи = v
v+ 
v 
уи+ уи = v
уи+уи=0 
(
+1)уи=0,
откуда
при u ≠ 0 следует, что у = 0. Тогда 
= 0 и из первого уравнения
системы
их = и
следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является правым единичным
элементом в 
.
В
случае, если и = 0, v ≠ 0, второе уравнение .системы
имеет вид v
= v, откуда сразу х = 1, а из первого уравнения системы у = 0,
т.е. приходим к тому же решению.
Для
определения левого нейтрального элемента (единицы) относиnельно операции умножения в 
решим уравнение:
(х; у) 
(u; v) = (u; v),
в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0, так как (0; 0) = 0U и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть опять u ≠ 0. Тогда:
(х; у) 
(и; v) = (и: v) 
(хи - 
y; vх - уū) =
(и; v) 
Умножим
обе части первого уравнения этой системы справа на u-1=
, откуда:
x(u
u-1) = 
y
+ u*u-1 
x = 1+ 
2
yū,
Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:
v(1+ 
2
yū) + уū= v
v + 
2 v
yū + уū= v
yū+ уū= 0 
(
+ 1)уū =0,
откуда
при u ≠ 0 следует, что у = 0 и из
первого уравнения системы хu = и следует, что
х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является и левым единичным элементом в 
. Обозначим (1; 0) = 1U,
11) Для определения правого симметричного для (u; v) элемента решим уравнение:
(u; v) 
(х: у) = (1; 0) 
(их - 
v; уи+ v
) = (1; 0) 
Умножим
обе части первого уравнения этой системы слева на u-1=
2, откуда:
(u-1
u)
x = u-1
v + u-1 
x =
2+
2
v 
= 
2 + 
2
yu.
Подставим
полученное значение 
во второе уравнение системы:
v
+ 
+ уи= 0 
2 + 
2 v
yu + уи= 0 
(|u|2 + |v|2) yu = - vu 
(|u|2
+ |v|2) y = - v,
откуда
у = - 
.
Тогда из второго уравнения системы
v
- 
u =0
v
- 
=0
= 
x= 
.
Итак, пара
(x; y) = 
; -
является
правым обратным элементом для элемента (u; v) в 
.
Для
определения левого симметричного элемента для элемента (u; v) относительно операции умножения в 
решим уравнение:
(х; у) 
(u; v) = (1; 0),
в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0. Пусть опять и ≠ 0. Тогда:
(х; у) 
(u; v) = (1; 0) 
(xu - 
y; vx + yū)
= (1; 0) 
Умножим
обе части первого уравнения этой системы справа на u-1=
2 откуда:
x 
(u
u-1) = 
y
2 + 
2
x = 
2 (
yū + ū).
Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:
v
2(
yū + + ū) + yū = 0 
(|u|2
+ |v|2) yū = - vū
откуда
при ū ≠ 0 следует, что у = - 
.
и, подставив это значение у в первое уравнение системы, получаем
xu - 
=
1,
откуда следует, что
xu= 1 - 
= 
.
Умножим
это равенство справа на u-1=
,
тогда
x = 
*
= 
Итак, пара
(x; y) = 
; -
является
и левым обратным элементом для элемента (u; v) в 
. Обозначим его (u, v)-1.
Левый и
правый обратные элементы для (u; v) совпадают и, следовательно, каждый
ненулевой элемент обратим в 
.
Из
1)-11) следует, что алгебра 
есть альтернативная линейная алгебра с делением и
единицей, т.е. в данной модели первая аксиома полностью выполняется.
Проверим выполнение второй аксиомы на построенной модели.
Пусть U1 = (u; 0). Ясно, что U1 
K x K.
Покажем, что множество U1 замкнуто относительно введенных ранее операций сложения и умножения:
(u1, 0) + (u2, 0) = (u1 + u2:
0 + 0) = (u1 + u2: 0) 
U1;
(u1, 0) 
(u2,
0) = (u1
u2 – 
0; 0 
u1 + 0 
ū2) =
(u1 
u2: 0) 
U1.
Далее:
- (u; 0) = (- u; - 0) = ( - u; 0) 
U1;
(u; 0)-1 =
= 
U1,
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
