Дипломная работа: Алгебра октав
§3.Действия над октавами
Так как
по доказанному пара вида (и; v),
где u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk 
K, есть и u+ ve, или в алгебраической форме
a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
то сложение двух октав осуществляется как сложение двух многочленов по правилу:
p+ q= (a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) +(a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K) =
= a+a1+(b+b1)i +(c+c1)j +(d+d1)k +(A+ A1)e +(B+B1)I +(C+C1) J +(D +D1) K.
Умножение октав выполняется так; же, как умножение двух многочленов с учетом порядка, умножения мнимых единиц, представленного в вышеприведенной таблице.
Упражнения: 1. Приведите полное представление произведения двух октав
w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK
и w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K
в алгебраической форме.
(a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK)( a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K)=a a1+ab1 i+ ac1j+ad1k+aA1E+aB1I+aC1J+aD1K+bia1+bib1i+bic1j+bid1k+diA1E+biB1I+biC1J+
biD1K+cja1+cjb1i+cjc1j+cjd1k+cjA1E+cjB1I+cjC1J+cjD1K+dka1+dkb1i+dkc1j+dkd1k+dkA1E+dkB1I+dkC1J+dkD1K+AEa1+AEb1i+AEc1j+AEd1k+AEA1E+AEB1I+AEC1J+AED1K+ BIa1+BIc1j+BId1k+BIA1E+BIB1I+BIC1J+BID1K+CJa1+Cjb1i+CJc1j
+CJd1k+CJA1E+CJB1I+CJC1J+CJD1K+Dka1+DKb1i+DKc1j+DKd1k+DKA1E+DKB1I+DKC1J+DKD1K=aa1+ab1i+ac1j+ad1k+aA1E+aB1I+aC1J+aD1K+bia1-bb1+bc1k-bd1j-bA1I+bB1E+bC1K+bD1J+cja1-cb1k-cc1+cd1i-cA1J+cB1K-Cc1E +cD1I+dka1+db1j-c1di-dd1+dA1K-dB1J+dC1I-dD1E+AEa1-Ab1I-Ac1J-Ad1K-AA1+Ab1i+AC1j+AD1k+Bia1+Bb1E-Bc1K+Bd1J-Ba1i-BB1-BC1k+BD1j+CJa1+Cb1K-Cc1E-Cd1I-CA1j+CB1k-CC1-CD1i+DK1a-Db1J-Dc1I+Dd1E-DA1k-DB1j+DC1i-DD1=aa1-bb1-cc1-dd1-AA1-BB1-CC1-DD1+i(ab1+ba1+cd1-dc1+AB1-BA1- -cD1+Dc1)+j(ac1-bd1+ca1+db1+AC1+BD1-CA1-DB1)+k(ad1+bc1-cb1+da1+AD1-BC1+CB1-Da1)+E(aA1-bB1-cC1-dD1+Aa1+Bb1+Cc+Dd1)+I(aB1+bA1-Cd1+dC1-Ab1+Ba1-Cd1-Dc1)+J(ac1+bD1+cA1-dB1-Ac1+Bd1+Ca1-Db1)+K(aD1-bC1+cB1+Da1-Ad1-Bc1+ Cb1 +Da1).
Этот результат можно записать в матричной форме:
,
.
Решение примеров:
Пример 1.
Сложить кватернионы:
(1+i-2j+15E-17J)+(-2+5j-17E+20K)= -1+i+3j-2E-17J+20K.
Пример 2.
Выполнить умножение:
(1+3K)(2-i+3j+2E+2K)=2-i+3j+2E+2K+6K-3Ki+9Kj+6KE-6=2-i+3j+2E+8K+3J-9I+6K-6=-4-i+2E-9I+14K.
Пример 3.
Решить уравнение:
(1-2i+4K)x=(2-3j+J)(3-5k+E)-5J+8k.
В правой части приведем подобные слагаемые.
(2-3j+J)(3-5k+E)-5J+8k=6-10k+2E-9j+15jk-3jE+3J-5Jk+JE-5J+8k=6-10k+2E-9j+15i-3J+3J-5I-j-5J+8k=6+15i-10j-2k+2E-5I-5J.
x=(1-2i+4K )-1(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J);
x=((1+2i-4K )(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J))/21=1/21(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J+12i-30-20k+4j-4I-10E-10K-24K-60J-40I-8E-8K+20J-20I)=1/21(-24+27i-6j-22k-16E-69I-45J-442K)
§4. Сопряженные октавы и их свойства
Определение. Если дана октава
w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
то октава
= a-bi-cj-dk- Ae-BI-CJ-DK
называется
сопряженным ему. В случае, когда октава w выражена через кватернионы и и v как u+ ve, то сопряженная ей октава равна 
= ū- ve.
Свойства сопряженных октав:
1)
р + 
=
2а 
R (выводится непосредственным сложением октавы
р=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK
с сопряженной ей октавой).
(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)+ (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)=2a.
2) w
=
w = a2 + b2 + c2
+ d2 + A2 + B2 + C2 + D2.
В самом деле:
w
=(u+ ve)(ū- ve) = (u
ū –(-
)v)+(-vu+vu)e = (u
ū+ 
)+(-vu+vu)e =(|u|2
+ |v|2) + 0
e
= |u|2 + |v|2.
Здесь и и v кватернионы
u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk.
А так как
|u|2 = a2 + b2 + c2 + d2, |v|2 = A2 + B2 + C2 + D2,
то w
=|u|2 + |v|2
= a2 + b2 + c2 + d2 + A2
+ B2 + C2 + D2.
Аналогично доказывается равенство
w = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2.
3) w= 
w= а 
R.
4) 
=
+
(вычисление левой и правой частей равенства дает
одинаковые значения).
В самом деле:
w1+ w = (a+bi+cj+dk+( Ae+BI+CJ+DK))+ (a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K);
левая часть:
=(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a1-b1i-c1j-d1k-
A1e-B1I-C1J-D1K);
правая часть:
= (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK);
=( a1-b1i-c1j-d1k-
A1e-B1I-C1J-D1K);
+
=(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a1-b1i-c1j-d1k-A1e-B1I-C1J-D1K).
Отсюда следует, что
:
= 
+
.
5) 
=
.
Пусть
w = u+ ve, w1 = u1+ v1e,
где u, u1 v, v1 - кватернионы.
Так как
w
w1= (u+ ve) ( u1+ v1e) = (uu1 - 
v) + (v1u+vū1)e,
то
= 
+ (v1u+vū1)e= (ū1ū -
v) - (v1u+vū1)e.
С другой стороны:
= (ū1 - v1e) (ū - ve) =
(ū1 ū -(-
(-v1))+(- vū1 -v1
) = (ū1ū -
v1) - (vū1
+ v1u)e.
В силу совпадения правых частей полученных равенств и следует тождество 5.
6) w
+w1
=2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A
A1+BB1+CC1 +DD1) 
R,
Если
w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K.
Пусть
w = u+ ve, w1 = u1+ v1e,
где u, u1 v, v1 - кватернионы. Так как
w
=(u+ ve) (ū1
- v1e) = (u ū1+
v)+(- v1u+ v
1)e = (u ū1+
v)(vu1 –v1u)e
а w1
=( u1+ v1e)
(ū - ve) = (u1ū+ 
v1)
+ (-vu1+v1u)e,
то сложив эти два равенства, получим:
w
+ w1
= (u ū1+
v+u1ū+ 
v1) + (- v1u+ vu1 - vu1+v1u)e= (u ū1+u1ū +
v + 
v1) + 0
e = u ū1+u1ū +
v + 
v1 .
В силу свойства 6) сопряженных кватернионов имеют место:
u ū1+u1ū =2 (aa1+bb1+cc1+dd1),
v + 
v1
= 2 (A A1+BB1+CC1 +DD1),
u = a+bi+cj+dk, u1 = a1+b1i+c1j+d1k,
v = A+Bi+Cj+Dk, v1 = A1+B1i+C1j+D1k.
Тогда из последних равенств следует
w
+ w1
= 2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1).
4.1 Модуль октавы
Определение. Модулем октавы
w=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK
называется
Модуль октавы w обозначается |w|. Следовательно,
|w| = 
.
Из
свойства 2) сопряженных октав следует |w|2 = w
=
w. Модуль октавы обладает свойствами:
1) |w| ≥ 0 и |w| = 0 
w=0;
2) |w w1| = |w|*|w1|.
Действительно,
|w w1|2 = (w w1)(
) = (w w1) (
) = w(w1*
)
= w|w1|2
= |w1|2 w
= |w1|2
|w|2,
Откуда
|w w1| = |w|
|w1|
Равенство
|pq| = |p|
|q| после возведения обеих частей в квадрат в развернутом виде
имеет вид:
|w w1| = |w| * |w1|.
(a2 + b2 + c2 + d2 + A2
+ B2 + C2 + D2) 
(
) = (aa1 - bb1
- cc1 - dd1 - AA1 -BB1 - CC1
- DD1)2 +(ab1 + a1b + cd1
- c1d - A1B + B1A + C1D
- CD1)2 +(ac1 + a1c - bd1 +
b1d - a1c + ac1
- b1d + bd1)2 +(ad1 +
a1d+ bc1 - b1c - a1d + ad1 + b1c - bc1)2
+(a1a - b1b - c1c -d1d + Aa1 + Bb1 + Cc1
+ Dd1)2 +
(a1b + b1a + c1d - d1c - Ab1 + Ba1 - Cd1 + Dc1)2 +(a1c + c1a - b1d+ d1b - ac1 + ca1 + bd1 - db1)2 +(a1 d+ d1a+ b1c - c1b - ad1 + da1 - bc1 + cb1)2.
Это равенство можно сформулировать так: произведение суммы квадратов восьми действительных чисел на сумму квадратов других восьми действительных чисел равно сумме квадратов восьми действительных чисел.
Если
w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK
- чисто мнимая октава, то
w/2= (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) = b2 - c2 - d2 - A2 - B2 - C2 - D2 = -(b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) ≤ 0,
т.е. квадрат чисто мнимой октавы w/ есть неположительное действительное число.
Можно показать и обратное: если квадрат октавы есть неположительное действительное число, то эта октава - чисто мнимая. Действительно, если октаву w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK представить в виде w = а + w/, где w/ - чисто мнимая октава
bi+cj+dk+
Ae+BI+CJ+DK, a, a
R, то
w2 = (а + w/)(а + w/) = a2+ w/2+2a w/ =a2- b2 - c2 - d2 - A2 - B2 - C2 - D2 +2a w/.
Если это выражение есть действительное число и а ≠ 0, то w/= 0. Но тогда w=а, и следовательно, w2 = а2 не может быть ≤ 0. Следовательно, только октавы вида
w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK
могут
обладать тем условием, что их квадраты являются неположительными
действительными числами. С учетом этого, октаву можно представить в виде w = а + w/ где a ,a
R, w/2≤ 0. Тогда сопряженная ей октава 
= а –p /.
В ходе доказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы получили, что
(u; v)-1 = 
; -
.
Так как (и; v) = и + ve, то тогда
(и + ve)-1 = 
-
.
Если
u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk,
это означает, что
(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)-1=
= 
,
если
w = и + ve = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK.
Итак,
октава, обратная октаве w,
есть октава 
.
Покажем, что в алгебре октав имеет место равенство:
(ww1) 
1 = w(w1
1).
Пусть w = u+ ve, w1 = u1+ v1e, где u, u1 v, v1 
K, Тогда:
(ww1)
1 = ((u+ ve)( u1+ v1e))(ū1 - v1e) = ((uu1
-
v)+ (v1u+ v ū1)e)(ū1 - v1e) = ((uu1 -
v)ū1+ 
(v1u+ v ū1))+(-v1(uu1 -
v)+ (v1u+ v ū1)
1)e = (uu1 ū1 -
vū1+ 
v1u+ 
vū1) +(-v1uu1
+v1
v + v1u u1+ vū1u1)e = (u|u1|2 + |v1|2u)+(v|v1|2 + |u1|2v)e = u(|u1|2+ |v1|2)+ v(|v1|2 + |u1|2)e = (|u1|2+ |v1|2)( u+ ve) = |w1|2w.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
